圆的相关练习题

1.(共10分)如图，RtABC△中，90ABC°，以AB为直径作O⊙交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是O⊙的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OFCF，求tanACO的值．2.(本题14分)如图在直角坐标系中,以点)0,3(A为圆心,以32为半径的圆与x轴交于B、C两点,与y轴交于D、E两点(1)求D点的坐标;(2)若B、C、D三点在抛物线cbxaxy2上,求这个抛物线的解析式;(3)若⊙A的切线交x轴正半轴于点,M交y轴的负半轴于点,N切点为P且.300OMN试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点?说明理由.CEBAOFDOAxyBCDEMPN3．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CFBF；（2）若2AD，⊙O的半径为3，求BC的长4．（苏州市）已知：如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点E，∠EBC＝2∠C．①求证：AB＝AC；②若tan∠ABE＝21，（ⅰ）求BCAB的值；（ⅱ）求当AC＝2时，AE的长．5．（广州市）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，⊙O的割线PBC过点O与⊙O分别交于B、C，PA＝8cm，PB＝4cm，求⊙O的半径．6．（河北省）已知：如图，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD︰DB＝2︰3，AC＝10，求sinB的值．CBEFADO7．（北京市海淀区）如图，PC为⊙O的切线，C为切点，PAB是过O的割线，CD⊥AB于点D，若tanB＝21，PC＝10cm，求三角形BCD的面积．8．（宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D为切点，且MN∥AB，MN＝a，ON、CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．9．（四川省）已知，如图，以△ABC的边AB作直径的⊙O，分别并AC、BC于点D、E，弦FG∥AB，S△CDE︰S△ABC＝1︰4，DE＝5cm，FG＝8cm，求梯形AFGB的面积．10．（贵阳市）如图所示：PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，求：（1）⊙O的面积（注：用含π的式子表示）；（2）cos∠BAP的值．例3.如图，已知AB为⊙O的直径，P是OB的中点，求tanC·tanD的值。分析：为了求tanC·tanD的值，需要分别构造出含有∠C和∠D的两个直角三角形。而AB是直径，为我们寻找直角创造了条件。连BC、BD，则得到Rt△ACB和Rt△ADB。可以发现∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC，于是，可以把tanC·tanD转化为tantan∠·∠···，则可求。ABDABCADBDACBCADACBDBC解：连结BC、BD∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°∵∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABCtantantantanCDABDABCADBDACBCADACBDBC·∠·∠···作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F则△AEC∽△ADBACAEABAD∴AC·AD＝AE·AB同理，BD·BC＝BF·ABtantanCDAEABBFABAEBF···∵△APE∽△BPF∴AEBFAPBP∵P为半径OB的中点∴，∴APBPAEBF313∴tanC·tanD＝3例4.如图，△是等边三角形，是⌒上任一点，求证：ABCDBCDBDCDA分析：由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC。证明：延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，BECDABEACDABAC∠∠AEBADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA说明：本例也可以用其他方法证明。如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA。（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA。例5.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD＝DC，分别延长BA、CD交于点E，BF⊥EC交EC的延长线于F，若EA＝AO，BC＝12，求CF的长。分析：在Rt△CFB中，已知BC＝12，求CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。解：连结OD，BDADDCADDC，∴⌒⌒∴∠ABC＝∠AOD∴OD∥BC∴ODBCEOEB∵EA＝AO，∴EA＝AO＝BOBCODOD1212238，∴，∴∴AB＝16，BE＝24∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠EDA＝∠EBC∵∠E是公共角∴△EDA∽△EBC∴ADBCEAECEDEB设AD＝DC＝x，ED＝y，则有xyxy12248解方程组，得：x42AD42∵AB为⊙O的直径∴∠ADB＝∠F＝90°又∠DAB＝∠FCB∴Rt△ADB∽Rt△CFBADCFABBCCF，即421612CF32说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。例6.如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点、，过作⊙的切线交于，若＝，，求的长。FDDOFCEAF7cosBCE35解：连结FD∵AB是直径，∴AD⊥BC∵AB＝AC，∴BD＝DC，∠FAD＝∠DAB∵四边形ABDF是圆内接四边形∴∠CFD＝∠B∵∠C是公共角∴△ABC∽△DFC∴CDACDFAB∵AB＝AC∴CD＝DF（也可以证∠CFD＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠CFD，∴CD＝DF。）∵DE切⊙O于D∴∠FAD＝∠EDF又∵∠CDE＋∠EDF＝∠FAD＋∠DAB∴∠CDE＝∠DAB∴∠CDE＝∠EDF∵CD＝FD∴CE＝EF，DE⊥CFcosBBC35，∠∠cosC35在中，RtACDCCDACcos35∴设CD＝3x，AC＝5x在中，，即RtCDECECCDECxcos353ECx95ACAFCE257185xxx5∴EC＝9例7.如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。解：∵公共弦AB＝120aR46120rRa6624222212060603OaRABo1446012022602，，rRaOo442422222602606090，∠SSSRarAmBAOBAOB弓形扇形229036012180036004244SSSRarAnBAOBAOB弓形扇形1160360122400360036266SSSAmBAnB阴影弓形弓形4200360013两圆相交弧间阴影部分的面积为42003600132cm20．解：（1）ADBC⊥，90DACC°．90BACBAFC°，．90OEOBBOACOE⊥，°，90BOAABF°，ABFCOE．ABFCOE△∽△；（2）解法一：作OGAC⊥，交AD的延长线于G．2ACAB，O是AC边的中点，ABOCOA．由（1）有ABFCOE△∽△，ABFCOE△≌△，BFOE．90BADDAC°，90DABABDDACABD°，，又90BACAOG°，ABOA．ABCOAG△≌△，2OGACAB．BADECOFGOGOA⊥，ABOG∥，ABFGOF△∽△，OFOGBFAB，2OFOFOGOEBFAB．解法二：902BACACABADBC°，，⊥于D，RtRtBADBCA△∽△．2ADACBDAB．设1AB，则252ACBCBO，，，21155525ADBDAD，．90BDFBOEBDFBOE°，△∽△，BDBODFOE．由（1）知BFOE，设OEBFx，1525DFx，10xDF．在DFB△中2211510xx，23x．2422233OFOBBF．4232223OFOE．（3）OFnOE．27．证明：（1）连接ODOEBD、、．AB是O⊙的直径，90CDBADB°，E点是BC的中点，DECEBE．ODOBOEOEODEOBE，，△≌△．90ODEOBE°，直线DE是O⊙的切线．（2）作OHAC⊥于点H，由（1）知，BDAC⊥，ECEB．OAOBOEAC，∥，且12OEAC．CDFOEF，DCFEOF．CFOF，DCFEOF△≌△，DCOEAD．45BABCA，°．OHADOHAHDH⊥，．13tan3OHCHOHACOCH，．25、（1）D点的坐标为)3,0(…………………………………………………….3分CEBAOFDHBADECOF（2）易知：)0,33(),0,3(CB，将B、C、D的坐标分别代入抛物线解得：3,332,31cba，故抛物线的解析式为：3332312xxy………………………………………………………………………………….4分（3）连结AP易得N的坐标为（5,0），从而可得直线MN的解析式为533xy，……………………………..3分又抛物线的顶点坐标是)4,3(，即3x当时有45333…….3分故点)4,3(在直线MN上，即直线MN经过抛物线的顶点。………….1分三、解答题：1．（1）∵BE切⊙O于点B，∴∠ABE＝∠C．∵∠EBC＝2∠C，即∠ABE＋∠ABC＝2∠C，∴∠C＋∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠C，∴AB＝AC．（2）①连结AO，交BC于点F，∵AB＝AC，∴＝，∴AO⊥BC且BF＝FC．在Rt△ABF中，BFAF＝tan∠ABF，又tan∠ABF＝tanC＝tan∠ABE＝21，∴BFAF＝21，∴AF＝21BF．∴AB＝22BFAF＝2221BFBF＝25BF．∴452BFABBCAB．②在△EBA与△ECB中，∵∠E＝∠E，∠EBA＝∠ECB，∴△EBA∽△ECB．∴ECEABEBCABEBEA2，解之，得516EA2＝EA·（EA＋AC），又EA≠0，∴511EA＝AC，EA＝115×2＝1110．2．设⊙的半径为r，由切割线定理，得PA2＝PB·PC，∴82＝4（4＋2r），解得r＝6（cm）．即⊙O的半径为6cm．3．由已知AD︰DB＝2︰3，可设AD＝2k，DB＝3k（k＞0）．∵AC切⊙O于点C，线段ADB为⊙O的割线，∴AC2＝AD·AB，∵AB＝AD＋DB＝2k＋3k＝5k，∴102＝2k×5k，∴k2＝10，∵k＞0，∴k＝10．∴AB＝5k＝510．∵AC切⊙O于C，BC为⊙O的直径，∴AC⊥BC．在Rt△ACB中，sinB＝51010510ABAC．4．解法一：连结AC．∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°．CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∠2＝90°－∠BAC＝∠B．∵tanB＝21，∴tan∠2＝21．∴CBACDBCDCDAD21．设AD＝x（x＞0），CD＝2x，DB＝4x，AB＝5x．∵PC切⊙O于点C，点B在⊙O上，∴∠1＝∠B．∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB，∴