9-7-用向量方法证明平行与垂直(理)课件-新人教B版

第七节用向量方法证明平行与垂直(理)重点难点重点：用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系难点：将立体几何问题转化为向量问题．知识归纳一、用空间向量解决立体几何问题的思路1．坐标法：如果所给问题的图形中存在互相垂直的直线(或平面)，比较方便建立空间直角坐标系写出点的坐标，这种情况下，一般是建立恰当的空间直角坐标系，用坐标法通过坐标运算来解决．2．基向量法如果在所给问题中，不好寻找交于一点的互相垂直的三条直线，或者其坐标难于求出，这时常选图中不共面的三条直线上的线段构造基底，将所给问题的条件和待解决的结论，用基底及其线性表示来表达，通过向量运算来解决．二、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量的坐标；④结合公式进行计算，论证；⑤转化为几何结论．三、平面的法向量1．如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．2．求平面的法向量的方法设n是平面M的一个法向量，AB、CD是M内的两条相交直线，则n·AB→＝0，n·CD→＝0.由此可求出一个法向量n(向量AB→及CD→已知)．误区警示1．建立坐标系一定要符合右手系原则．2．证明线面平行时，一定要说明直线在平面外．一、如何用空间向量解决立体几何问题1．思考方向：(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？2．空间问题如何转化为向量问题(1)平行问题⇒向量共线，注意重合；(2)垂直问题⇒向量的数量积为零，注意零向量；(3)距离问题⇒向量的模；(4)求角问题⇒向量的夹角，注意角范围的统一．3．向量的分解与组合是用向量法解决立体几何问题中经常遇到的问题，确定合适的基向量或建立恰当的空间直角坐标系是关键．二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系1．用向量方法研究两直线间的位置关系设直线l1、l2的方向向量分别为a、b.(1)l1∥l2或l1与l2重合⇔a∥b⇔存在实数t，使a＝tb.(2)l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b＝0.2．用向量方法研究直线与平面的位置关系设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，v1、v2是与α平行的两个不共线向量．(1)l∥α或l⊂α⇔存在两个实数λ、μ，使a＝λv1＋μv2⇔a·n＝0.(2)l⊥α⇔a∥n⇔存在实数t，使a＝tn.l⊥α⇔a⊥v1a⊥v2⇔a·v1＝0a·v2＝0.3．用向量方法研究两个平面的位置关系设平面α、β的法向量分别为n1、n2.(1)α∥β或α与β重合⇔n1∥n2⇔存在实数t，使n1＝tn2.(2)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.若v1、v2是与α平行的两个不共线向量，n是平面β的法向量．则①α∥β或α与β重合⇔v1∥β且v2∥β⇔存在实数λ、μ，对β内任一向量a，有a＝λv1＋μv2.②α⊥β⇔n⊥v1n⊥v2⇔n·v1＝0n·v2＝0.[例1]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.用向量证明线面平行证明：方法1：如下图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M0，1，12，N12，1，1，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN→＝12，0，12，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·DA1→＝0，且n·DB→＝0，∴x＋z＝0x＋y＝0，取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又MN→·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN→⊥n，又∵MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.方法2：∵MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12(D1A1→－D1D→)＝12DA1→，∴MN→∥DA1→，又∵MN⊄平面A1BD.∴MN∥平面A1BD.点评：(1)证明直线l1∥l2时，分别取l1、l2的一个方向向量a、b，则a∥b⇔存在实数k，使a＝kb或利用其坐标a1b1＝a2b2＝a3b3(其中a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))．(2)证明直线l∥平面α时，①可取直线l的方向向量a与平面α的法向量n，证明a·n＝0；②可在平面α内取基向量{e1，e2}，证明直线l的方向向量a＝λ1e1＋λ2e2，然后说明l不在平面α内即可；③在平面α内找两点A、B，证明直线l的方向向量n∥AB→.(3)证明平面α∥平面β时，设α、β的法向量分别为a、b，则只须证明a∥b.(2011·北京海淀期末)在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)求证：BC⊥AA1；(2)若M，N是棱BC上的两个三等分点，求证：A1N∥平面AB1M.证明：(1)因为∠ACB＝90°，所以AC⊥CB，又侧面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面ACC1A1，又AA1⊂平面ACC1A1，所以BC⊥AA1.(2)证法一：连接A1B，交AB1于O点，连接MO，在△A1BN中，O，M分别为A1B，BN的中点，所以OM∥A1N.又OM⊂平面AB1M，A1N⊄平面AB1M，所以A1N∥平面AB1M.证法二：∵M、N为BC的三等分点，∴BM→＝MN→，A1N→＝A1A→＋AM→＋MN→＝B1B→＋AM→＋BM→＝AM→＋B1M→，∵A1N⊄平面AB1M，∴A1N∥平面AB1M.[例2]在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.用向量证明线面垂直证明：分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E1，12，0，M(1,1，m)．∴AC→＝(－1,1,0)，又E、F分别为AB、BC的中点，∴EF→＝12AC→＝－12，12，0.又∵B1E→＝0，－12，－1，D1M→＝(1,1，m－1)，∵D1M⊥平面FEB1，∴D1M⊥EF且D1M⊥B1E.即D1M→·EF→＝0，且D1M→·B1E→＝0.∴－12＋12＋m－1·0＝00－12＋1－m＝0，∴m＝12.故取B1B的中点M就能满足D1M⊥平面EFB1.点评：①证明直线l1与l2垂直时，取l1、l2的方向向量a、b，证明a·b＝0.②证明直线l与平面α垂直时，取α的法向量n，l的方向向量a，证明a∥n.或取平面α内的两相交直线的方向向量a、b与直线l的方向向量e，证明a·e＝0，b·e＝0.③证明平面α与β垂直时，取α、β的法向量n1、n2，证明n1·n2＝0.或取一个平面α的法向量n，在另一个平面β内取基向量{e1，e2}，证明n＝λe1＋μe2.④证明平行与垂直的关键是将待证问题中直线的方向向量和平面的法向量表示出来(用已知向量表示或用坐标表示)．如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.证明：∵AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形．∴C(12，32，0)，E(14，34，12)．设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得AC→·CD→＝0，∴y＝233，即D(0，233，0)，∴CD→＝(－12，36，0)．又AE→＝(14，34，12)，∴AE→·AD→＝－12×14＋36×34＝0，∴AE→⊥CD→，即AE⊥CD.(2)设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，∵AB→＝(1,0,0)，AE→＝(14，34，12)，∴n·AB→＝0n·AE→＝0，即x＝014x＋34y＋12z＝0，令y＝2，则z＝－3，∴n＝(0,2，－3)．∵PD→＝(0，233，－1)，显然PD→＝33n.∵PD→∥n，∴PD→⊥平面ABE.即PD⊥平面ABE.[例3]已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，求证：用向量方法证明面面垂直与平行(1)平面ADE∥平面B1C1F；(2)平面ADE⊥平面A1D1G；(3)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.解析：以D为原点，DA→、DC→、DD1→为正交基底建立空间直角坐标系O－xyz，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，G(0,1,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)．(1)设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面ADE、平面B1C1F的法向量，则n1⊥DA→，n1⊥AE→.∴n1·DA→＝0n1·AE→＝0，∴2x1＝02y1＋z1＝0，取y1＝1，z1＝－2，∴n1＝(0,1，－2)．同理可求n2＝(0,1，－2)．∵n1∥n2，∴平面ADE∥平面B1C1F.(2)∵DA→·D1G→＝(2,0,0)·(0,1，－2)＝0，∴DA→⊥D1G→.∵AE→·D1G→＝(0,2,1)·(0,1，－2)＝0，∴AE→⊥D1G→.∵DA→、AE→不共线，∴D1G⊥平面ADE.又∵D1G⊂平面A1D1G，∴平面ADE⊥平面A1D1G.(3)由于点M在AE上，所以可设AM→＝λ·AE→＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，∴M(2,2λ，λ)，A1M→＝(0,2λ，λ－2)．要使A1M⊥平面DAE，只需A1M⊥AE，∴A1M→·AE→＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0，∴λ＝25.故当AM＝25AE时，A1M⊥平面DAE.(2011·黄冈期末)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别为棱AD、PB的中点，PD＝AD.求证：平面CEF⊥平面PBC.证明：以D为原点，直线DA、DC、DP分别为x轴、y轴、z轴建立如下图空间直角坐标系．设PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，∴E(12，0,0)，F(12，12，12)，设平面CEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·EF→＝0n·EC→＝0，∵EF→＝(0，12，12)，EC→＝(－12，1,0)，∴12y＋12z＝0－12x＋y＝0，∴z＝－yx＝2y，令y＝1，则n＝(2,1，－1)．设平面PBC的一个法向量u＝(x，y，z)，则u·BC→＝0u·BP→＝0，∵BC→＝(－1,0,0)，BP→＝(－1，－1,1)，∴－x＝0－x－y＋z＝0，∴x＝0y＝z，令z＝1，则u＝(0,1,1)，∵u·n＝0，∴u⊥n，∴平面CEF⊥平面PBC.1.已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)证明：平面PAD⊥平面PAB.[证明](1)取BC的中点O，∵侧面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，∴PO⊥底面ABCD.以O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如下图所示空间直角坐标系．不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝3.∴A(1，