一元一次不等式组的解法经典例题透析

学习必备欢迎下载经典例题透析类型一：解一元一次不等式组1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。思路点拨：先求出不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。解析：解不等式①，得x≥－；解不等式②，得x＜1。所以不等式组的解集为－≤x＜1在数轴上表示不等式①②的解集如图。总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。举一反三：【变式1】解不等式组：解析：解不等式①，得：解不等式②，得：在数轴上表示这两个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：学习必备欢迎下载【变式2】解不等式组：思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：（1）不等式组里不等式的个数并未规定；（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别解法一：解不等式①，得：解不等式②，得：解不等式③，得：在数轴上表示这三个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：解法二：解不等式②，得：解不等式③，得：由与得：再与求公共解集得：.【变式3】解不等式组：解析：学习必备欢迎下载解不等式①得：x＞－2解不等式②得：x＜－7∴不等式组的解集为无解【变式4】解不等式：－1＜≤5思路点拨：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。解法1：原不等式可化为下面的不等式组解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8所以不等式组的解集为－1＜x≤8。即原不等式的解集为－1＜x≤8解法2：－1＜≤5，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8。所以原不等式的解集为－1＜x≤8总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.【变式5】求不等式组的整数解。思路点拨：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。解析：解不等式①，得x≥；解不等式②，得x≤4。在数轴上表示不等式①②的解集(如图)学习必备欢迎下载所以不等式组的解集为≤x≤4。所以它的整数解为3,4。类型二、含参数的一元一次不等式组2、若不等式组无解，求a的取值范围.思路点拨：由两个不等式组成的不等式组无解只有一种情况，即“大大小小”，也就是说如果x比一个较大的数大，而比一个较小的数小，则这样的数x不存在.解析：依题意：2a-5≥3a-2，解得a≤-3总结升华：特别地，当2a-5与3a-2相等时，原不等式组也无解，请注意体会，以后做此类型的题目不要忽略对它们相等时的考虑.举一反三：【变式1】若不等式组无解，则的取值范围是什么？解析：要使不等式组无解，故必须，从而得.【变式2】若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是什么？解析：由+1可解出，而由可解出，而不等式组的解集为，故，学习必备欢迎下载即.总结升华：上面两个例题给出不等式组的解集，反求不等式组中所含字母的取值范围，故要求较高.解这类题目的关键是对四种基本不等式组的解集的意义要深刻理解，如变式2，最后归结为对不等式组解集的确定，这就要求熟悉“同小取小”的解集确定方法，当然也可借助数轴求解。【变式3】不等式组的解集为x＜2，试求k的取值范围.解析：，由①得x＜2,由②得x＜k,∵不等式组的解集为x＜2，∴2≤k.即k≥2.【变式4】已知关于的不等式组的整数解共有5个，求的取值范围。解析：∵不等式组的解为:不等式组的解为:由于原不等式组有解，∴解集为在此解集内包含5个整数，则这5个整数依次是∴m必须满足【变式5】若不等式组的解集为－1＜x＜1，则(a＋b)2008＝＿＿＿。解析：由①知x＞a＋2，由②知x＜，学习必备欢迎下载∵a＋2＝－1，＝1，∴a＝－3，b＝2，∴a＋b＝－1，∴(a＋b)2008＝(－1)2008＝1。类型三、建立不等式或不等式组解决实际问题3、某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，求预定每组学生的人数。思路点拨：运用不等式解应用题的方法，找出题目中的不等关系，列不等式组，本题中的两个不等关系是：①9个小组中每组比预定的人数多1人，学生总数超过200人；②9个小组中每组比预定的人数少1人，学生总数不到190人。解析：设预定每组学生有x人，根据题意，得解这个不等式组，得，所以不等式组的解集是，其中符合题意的整数解只有一个x＝22。答：预定每组学生的人数为22人。总结升华：列不等式(组)解应用题，首先将题目中的不等关系用不等式表示出来，当求得未知数的值后，要检验，一是检验所求值是否是原不等式或不等式组的解，二是检验所求得的值是否与实际意义相符。举一反三：【变式1】某饮料厂为了开发新产品，用A、B两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是试验的相关数据：饮料每千克含量甲乙A（单位：千克）0．50．2B（单位：千克）0．30．4（1）假设甲种饮料需配制x千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集。（2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y元，请用含有x的式子来表示y。并根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料学习必备欢迎下载的成本总额最小？解析：（1）0.5x+0.2(50-x)≤19①0.3x+0.4(50-x)≤17.2②由①得x≤30,由②得x≥28∴28≤x≤30（2）y=4x+3(50-x)，即y=x+150因为x越小，则y越小，所以当x=28时，甲、乙两种饮料的成本总额最少。【变式2】某园林的门票每张10元，一次使用。考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票人使用一年）。年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需要再购买门票，每次3元。（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。（2）求一年中进入该园林至少多少次时，购买A类年票才比较合算。思路点拨：“合算”是指进园次数多而花钱少，或是花相同的钱进园的次数最多，显然是通过计算进行代数式比较和建立不等式（组）关系。解：（1）不可能选A类年票，若选B类年票，则为10次；若选C类年票，则为13次；若不购买年票，则为8次所以计划用80元花在该园林的门票上时，选择购买C类年票的方法进入园林的次数最多，为13次。（2）设至少超过x次时，购买A类年票才比较合算，则60+2x＞120解得x＞3040+3x＞120解得x＞2610x＞120解得x＞12∴x＞30所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票才比较合算。【变式3】若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍的人不空也不满，问学生有多少人？宿舍有几间？解析：设宿舍共有x间。解得：5＜x＜7∵x为整数∴x＝6学习必备欢迎下载学生人数4×6＋20＝44(人)答：学生44人，宿舍6间。【变式4】某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租车公司有42座和60座客车，42座客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元，（1）若学校单独租用这两种客车各需多少钱？（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且比单独租用一种车辆节省租金，请选择最节省的租车方案。解析：（1）385÷42≈9.2单独租用42座客车需10辆，租金为320×10＝3200(元)385÷60≈6.4单独租用60座客车需7辆，租金为460×7＝3220(元)（2）设租用42座客车x辆，则60座客车需(8－x)辆解得：因x取整数x＝4，5当x＝4时，租金为320×4＋460×(8－4)＝3120(元)当x＝5时，租金为320×5＋460×(8－5)＝2980(元)所以租5辆42座，3辆60座最省钱。