第七章 图形与变换 第2讲 轴对称与中心对称、平移与旋转

第一轮复习知识梳理与基础整合第七章图形与变换第2讲轴对称与中心对称、平移与旋转课前练习归类探究知识梳理备考演练课前练习1．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）2.（2014汕尾）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列图形：①等腰梯形，②菱形，③函数1yx的图象，④函数y=kx+b（k≠0）的图象，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．①②B．①③C．①②③D．②③④AAA4．如图,将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF,则四边形ABFD的周长为()A．6B.8C.10D.125．分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示。将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是________度。ABCDEFC90考点一轴对称与轴对称图形知识梳理名称轴对称轴对称图形定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线是它的对称轴．这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称区别轴对称是指两个全等图形之间的相互位置关系轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形联系①如果把轴对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图形是轴对称图形；②如果把一个轴对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们成轴对称轴对称的性质(1)对称点的连线被对称轴垂直平分；(2)对应线段相等；(3)对应线段或延长线的交点在对称轴上；(4)成轴对称的两个图形全等考点二中心对称与中心对称图形名称中心对称中心对称图形定义把一个图形绕着某一点旋转1800后，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，该点叫做对称中心把一个图形绕着某一点旋转1800，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形叫中心对称图形，这个点叫做对称中心区别中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系中心对称图形是指具有特殊形状的一个图形联系①如果把中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图形是中心对称图形；②如果把一个中心对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们成中心对称中心对称性质(1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分(2)成中心对称的两个图形全等(3)两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点（x,y)关于原点的对称点为(-x,-y).考点三平移定义在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形移动称为平移图形平移有两个基本条件(1)图形平移的方向；(2)图形平移的距离平移性质(1)对应线段平行(或共线)且相等，对应点所连的线段平行且相等，图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离；(2)对应角分别相等，且对应角的两边分别平行、方向一致；(3)平移变换后的图形与原图形全等考点四旋转定义把一个图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角图形的旋转有三个基本条件(1)旋转中心；(2)旋转方向；(3)旋转角度旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角(3)旋转前、后的图形全等归类探究探究一轴对称图形与中心对称图形例1．下列图形：①平行四边形；②菱形；③圆；④梯形；⑤等腰三角形；⑥直角三角形；⑦国旗上的五角星．这些图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1种B．2种C．3种D．4种解：①仅是中心对称图形；⑤⑦仅是轴对称图形；②③既是轴对称图形又是中心对称图形；故选CC方法点析本题考查了轴对称图形与中心对称图形的判定。轴对称图形的判定关键是看图形中能否找到一条沿其对折后可以使两侧图形完全重合的直线；而中心对称图形判定的关键是看图形旋转180°后，是否可以原图形重合。例2．在四边形ABCD中，AB=CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是．(只要填写一种情况)解：因为AB=CD，可以加AB∥CD，则四边形ABCD为平行四边形，为中心对称图形；也可加AD=BC，为菱形，是中心对称图形．其他合理条件亦可．答案：AB//CD或AD=BC，或∠B+∠C=180º或∠A+∠D=180º等（不唯一）．方法点析因为平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形，所以添加条件后能成为这几种图形就可以．C1.民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）2.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．A．B．C．D．B考点即练探究二图形旋转与平移例3．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）A．30°B．35°C．40°D．50°解：∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠BAC=∠B′AC′，∵CC′∥AB，∠CAB=75°，∴∠ACC′=∠CAB=75°，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×75°=30°，∵∠BAB′=∠BAC﹣∠B′AC，∠CAC′=∠B′AC′﹣∠B′AC，∴∠BAB′=∠CAC′=30°．故选A．A方法点析本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，这是解题的关键，然后利用等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质求解．解：由旋转的性质可得：AD=AB∵∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB，∵AB=2，BC=3.6，∴CD=BC﹣BD=3.6﹣2=1.6．答案：1.6．3.如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为．考点即练探究三坐标系中的图形的平移与旋转解：∵A点坐标为(2，4)，A1(－2，1)，∴点P(2.4，2)平移后的对应点P1为(－1.6，－1)．∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，∴P2点的坐标为(1.6，1)．答案C例4.在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P(2.4，2)平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为()A．(1.4，－1)B．(1.5，2)C．(1.6，1)D．(2.4，1)C方法点析求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点：一是根据图形变换的性质；二是利用图形的全等关系；三是确定变换前后点所在的象限.．4．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（-4,1），点B的坐标为（-1,1）.（1）先将Rt△ABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1.试在图中画出图形Rt△A1B1C1.，并写出A1的坐标（2）将Rt△A1B1C1.，绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，试在图中画出图形Rt△A2B2C2，并计算Rt△A1B1C1在上述旋转过程中C1.所经过的路程.考点即练解：（1）画出Rt△A1B1C1.的图形；A1的坐标为（1,0）（2）画出Rt△A2B2C2.的图形；A1C1=222313C1.所经过的路经为：9013180=1325、如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A′的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，6）C．（1，3）D．（﹣2，1）6、如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是（）A．（6，1）B．（0，1）C．（0，﹣3）D．（6，﹣3）CB备考演练7．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）如图所示：作出A1的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，可得P点坐标为：（7/3，0）．