GM(1,1)

7.3灰色预测模型7.3.1GM（1,1）模型符号含义为GM（1，1）GreyModel1阶方程1个变量1．GM(1,1)模型令为GM(1,1)建模序列，，为的一次累加序列，，,令为的紧邻均值（MEAN）生成序列=0.5+0.5则GM(1,1)的定义型，即GM(1,1)的灰微分方程模型为(7.3.2)式中称为发展系数，为灰色作用量。设为待估参数向量，即，则灰微分方程(7.3.2)的最小二乘估计参数列满足=其中=，=称(7.3.3)为灰色微分方程的白化方程，也叫影子方程。如上所述，则有1）白化方程的解也称时间响应函数为2）GM(1,1)灰色微分方程的时间响应序列为(0)X(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())Xxxxn(1)X(0)X(1)(1)(1)(1)((1),(2),...,())Xxxxn(1)(0)1()()kixkxi1,2,...,kn(1)Z(1)X(1)(1)(1)(1)((2),(3),...,())Zzzzn)()1(kz)()1(kx)1()1(kxbkazkx)()()1()0(abˆˆ(,)TabnTTYBBB1)(B(1)(1)(1)(2)1(3)1......()1zzznnY(0)(0)(0)(2)(3)...()xxxn(1)(1)dxaxbdtbkazkx)()()1()0((1)(1)dxaxbdt(1)(1)ˆ()((0))atbbxtxeaabkazkx)()()1()0([]+，3）取，则[]+，4）还原值上式即为预测方程。有关建模的问题说明如下：1．定原始序列中的数据不一定要全部用来建模，对原始数据的取舍不同，可得模型不同，即和不同。2．建模数据的取舍应保证建模序列等时距、相连，不得有跳跃出现。3．一般建模数据序列应当由最新的数据及其相邻数据构成，当再出现新数据时，可采用两种方法处理：一是将新信息加入原始序列中，重估参数；二是去掉原始序列中最老的一个数据，再加上最新的数据，所形成的序列和原序列维数相等，再重估参数。7.3.2GM（1,1）模型检验GM(1,1)模型的检验分为三个方面：残差检验；关联度检验；后验差检验。1．残差检验残差大小检验，即对模型值和实际值的残差进行逐点检验。首先按模型计算，将累减生成，最后计算原始序列与的绝对残差序列，及相对残差序列，%并计算平均相对残差给定，当，且成立时，称模型为残差合格模型。2．关联度检验关联度检验，即通过考察模型值曲线和建模序列曲线的相似程度进行检验。按前面所述的关联度计算方法，计算出与原始序列的关联系数，然后算出关联度，根据经验，关联度大于0.6便是满意的。3．后验差检验后验差检验，即对残差分布的统计特性进行检验。（1）计算出原始序列的平均值：=（2）计算原始序列的均方差：(1)ˆ(1)xk(1)(0)bxaakeba1,2,...,kn(1)(0)(0)(1)xx(1)ˆ(1)xk(0)(1)bxaakeba1,2,...,kn(0)ˆ(1)xk(1)ˆ(1)xk(1)ˆ()xk(0)Xab(1)ˆ(1)xi(1)ˆ(1)xi(0)ˆ()xi(0)()xi(0)ˆ()xi(0)(0){(),1,2,...,}iin(0)(0)(0)ˆ()()()ixixi{,1,2,...,}iin(0)(0)()()iixi11niinn(0)ˆ()xi(0)()xi(0)x(0)11()nixin(0)X=（3）计算残差的均值：=（4）计算残差的均方差：=（5）计算方差比C：（6）计算小残差概率：P{}1{|()|}0.6745ppis(19)（P是满足1|()|0.6745is的基本事件数除以n得到的值.由C和P判断预测模型精度）令=0.6745，，即P{}。若对于给定的，当时，称模型为均方差比合格模型；如对给定的，当时，称模型为小残差概率合格模型。表7.1后验差检验判别参照表模型精度0.950.35优0.800.5合格0.700.65勉强合格0.700.65不合格若相对残差、关联度、后验差检验在允许的范围内，则可以用所建的模型进行预测，否则应进行残差修正。7.3.3GM（1,1）模型应用实例例7.1某大型企业1999年至2004年的产品销售额如下表，试建立GM(1,1)预测模型，并预测2005年的产品销售额。年份199920002001200220032004销售额(亿元)2.673.133.253.363.563.72解：设={2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72}1S(0)(0)21/21[()]()1nixixn(0)11()niin2S(0)21/20[()]()1nikn21SSCP(0)1()0.6745iS0S1S(0)()ieiP0Sei00C0CC00P0PPPC(0)()Xk第1步构造累加生成序列={2.67，5.80，9.05，12.41，15.97，19.69}第2步构造数据矩阵和数据向量，第3步计算======第4步得出预测模型0.043879=2.925663=69.345766.6757（=2.67；=－66.6757）第5步残差检验(1)根据预测公式，计算，得＝｛2.67，5.78，9.03，12.43，15.97，19.68，19.69｝(=0,1,…,6)(2)累减生成序列，=1,2,…,6＝｛2.67，3.11，3.25，3.40，3.54，3.71｝原始序列：＝｛2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72｝(1)()XkBnY(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1(1)(2)1214.2351(2)(3)127.4251110.731(3)(4)1214.1911(4)(5)117.83121(5)(6)12xxxxBxxxxxx(0)(0)(0)(0)(0)3.13(2)3.25(3)3.36(4)3.56(5)3.72(6)nxxYxxxˆabnTTYBBB1)(BBT541.5441.5446375.7071)(BBT226382.1094319.0094319.0008667.0ˆnTTYBBB1)(0.0438792.925663(1)dxdt(1)x(1)ˆ(1)xk0.043879ke(0)(1)xba(1)ˆ()Xk(1)ˆ()Xkk(0)ˆ()Xkk(0)ˆ()Xk(0)()Xk(3)计算绝对残差和相对残差序列绝对残差序列：＝｛0，0.02，0，0.04，0.02，0.01｝相对残差序列：＝｛0，0.64%，0，1.19%，0.56%，0.27%｝相对残差不超过1.19%，模型精确度高。第6步进行关联度检验(1)计算序列与的绝对残差序列(k)＝｛0,0.02,0,0.04,0.02,0.01｝min{(k)}=min｛0,0.02,0,0.04,0.02,0.01｝=0max{(k)}=max｛0,0.02,0,0.04,0.02,0.01｝=0.04(2)计算关联系数由于只有两个序列（即一个参考序列，一个被比较序列）故不再寻求第二级最小差和最大差。求得＝{1,0.5,1,0.33,0.5,0.67}(3)计算关联度＝0.67r=0.67是满足P=0.5时的检验准则r0.6的。第7步后验差检验(1)计算：=[2.67+3.13+3.25+3.36+3.56+3.72]=3.28(2)计算序列的均方差：==0.3671(3)计算残差的均值：=[]=0.015(4)计算残差的均方差：==0.0152(5)计算C：=0.0152/0.3671=0.0414(6)计算小残差概率：=0.67450.3671=0.2746{0.15,0.005,0.015,0.025,0.005,0.005}所有都小于，故小残差概率{}=1，而同时C=0.04140.35，故模型=69.345766.6757合格。第8步预测：k=7，(8)=(8)(7)=4.23即2005年的产品销售额预测值为4.23亿元。(0)(0)x(0)ˆx(0)(0)(0)(0))5.0,6,...,1()}(max{)()}(max{)}(min{)(PkkPkkPkk)(k11()niikrkn(0)x61(0)X1S(0)(0)21/2[()]()1xkxn61)(k2S2/12)1])([(nk21SSC0S()kekie0SP0Sei(1)(1)xk0.043879ke(0)x(1)x(1)x7.3.4GM（1,1）残差模型当原始数据序列建立的GM(1,1)模型检验不合格时，可以用GM(1,1)残差模型来修正。如果原始序列建立的GM(1,1)模型不够精确，也可以用GM(1,1)残差模型来提高精度。若用原始序列建立的GM(1,1)模型=[]+可获得生成序列的预测值，定义残差序列=。若取j=i,i+1,…,n，则对应的残差序列为：={，，…，}计算其生成序列，并据此建立相应的GM(1,1)模型：得修正模型(7.3.4)其中m为修正参数。应用此模型时要考虑：1．一般不是使用全部残差数据来建立模型，而只是利用了部分残差。2．修正模型所代表的是差分微分方程，其修正作用与中的i的取值有关。(0)X(0)X(1)ˆ(1)xi(0)(1)bxaaieba(1)X(0)()ej(1)(1)ˆ()()xjxj(0)()ek(0)(1)e(0)(2)e(0)()en(1)()ek(1)ˆ(1)ei(0)(1)eakeeeebbeeaa(1)(0)(0)(1)(1)()()(1)eakakeeebbbxkxekiaeeaaaikikik01)()(ik