洛伦兹变换的四维形式1四维空间的转动变换

时空本质上是四维的：3维空间+1维时间。洛伦兹变换是一种线性变换,它体现了四维时空的变换关系。但是这种变换的特征是什么？物理量在坐标变换下怎样变换？描写物理规律的方程在变换下是否不变？一、关于正交变换1、二维平面上坐标系的转动变换cossinsincosyxyyxx平面上P点的转动变换满足Pxyyx机动目录上页下页返回结束2222yxyx相对论理论的四维形式机动目录上页下页返回结束yxaaaayxyx22211211cossinsincoscossincossin10sincossincos01aaaaI2、三维空间坐标转动变换111112213311121311221122223321222322331132233331323333xaxaxaxaaaxxxaxaxaxaaaxaxxaxaxaxaaaxx正交变换条件31iijjjxax(1,2,3)i332211iiiixx不变量(1)ijikjkaa写成矩阵机动目录上页下页返回结束31ijkikijaa（1）与（2）为正交条件(2)aaaaI==%%LLL二、物理量按空间变换性质分类•标量:空间转动变换中不变的量称为标量。uu例如：质量，电荷，空间距离。例如：应力张量，电四极矩张量等。ijikjlklTaaT方式变换的具有9个分量的物理量，记为。T•二阶张量：空间转动变换下按机动目录上页下页返回结束例如：速度、加速度、力、电场强度、▽算符等。•矢量：空间转动变换中按iijjvav3,2,1i方式变换的量称为矢量，记为。v机动目录上页下页返回结束ijjTvTv一个自由指标为矢量ijjikjlkljmmiklmklmikkllTvaaTavaTvaTv张量与矢量点积例二：iiwvwv无自由指标为标量iiijjikkjkjkjjiivwavawvwvwvw例一：两矢量点积标量：没有自由指标，又称为零阶张量；矢量：一个自由指标，又称为一阶张量；张量：两个自由指标，又称为二阶张量。使用自由指标判断物理量机动目录上页下页返回结束三、洛伦兹变换的四维形式1、四维空间的转动变换（三维情况的推广）转动中的不变量：vvxxxx(,14)v44222222221234123411vvvxxxxxxxxxxxx英文小写字母,ijklmn，，，，，代表1—3希腊小写字母,，，，，，代表1—4变换表示式：xax正交条件为：aaaaaaI机动目录上页下页返回结束2、洛伦兹变换为复四维空间的转动变换2222222222123123xxxctxxxct2222222212341234xxxxxxxxxxxx洛伦兹变换下间隔为不变量，即：44,xictxict定义：与转动变换不变量表示形式不同因此它为复四维空间),,,(4321ictxxxx该空间又称为闵可夫斯基空间。的“转动”变换11114()ictxxtxxixci2233,xxxx4141142()xictictxxixixxc机动目录上页下页返回结束11223344000100001000xxixxxxxxi矩阵形式xax)~(xax()xax114()xxix22xx414()xixx33xx协变性：在某种变换下数学方程形式保持不变的性质。洛伦兹协变性：在洛伦兹变换下物理规律的数学方程保持不变的性质。固有时间隔dτ为不变量的说明：四、四维协变量时间间隔dt在洛仑兹变换下是一个可变量.dttd⑴洛伦兹标量：洛伦兹变换下保持不变的物理量例如：电荷Q，时空间隔，固有长度，固有时间隔，静止质量m0，四维空间的体积元等2222dscdtdrdsdc1、四维协变量在洛伦兹变换下具有确定变换性质的物理量。即在变换下方程不变，方程中同一类物理量按相同形式变换，这样的物理量统称为四维协变量。而间隔dS2为不变量，所以机动目录上页下页返回结束具有四个分量，在洛伦兹变换下与坐标变换形式相同。VaVxax⑵四维矢量V，用固有时度量四维空间的位移可得四维速度•四维速度dxUdidxiidxudt三维速度用dt度量三维空间的位移它不满足洛仑兹变换，也不是四维速度的前三个分量。变换关系UaU,dxadxdd•四维空间位移：dxdxadx4()dxicdt四维速度与三维速度间的关系机动目录上页下页返回结束4iudxdtUicicdd(,)uUuicOxu令某物体沿∑系正方向运动，它的三维速度大小为u，固有时为dτ，∑系上度量时间为dt，2211/uuc令221/uddtduc221/iiidxdxuucdtdiuiUu机动目录上页下页返回结束•四维波矢量112233krtkxkxkxiictckak2()000100001000()xxxxyyyyzzzzzkkkkickkkkkkkkiiikcc()kkc平面电磁波波矢量称为四维波矢量。(,)kkic4(),xict引入kxkx不变量圆频率在洛伦兹变换下是可变量。相位()[]iikrteecik4检验物理规律方程是否协变，最一般的方法是将该方程化为四维形式，而物理量转化为四维协变量，如果能够实现这种转化，则方程一定是协变的。机动目录上页下页返回结束4、怎样验证描述物理规律的方程的协变uu无自由指标；uVaVTaaTl有两个自由指标。有一个自由指标；标量矢量张量原则