对一类共顶点的旋转、相似问题的探究

对一类共顶点的旋转、相似问题的探究北京理工大学附中张晓琼引例：如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．（1）求证：AD=BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值.ADEF以顶点相同的两个相似的等腰三角形△GAB,△GDC,与对边相等的四边形ABCD为载体第二问：△AGD∽△EGF；cosGEAGEAGcosGFDGFDGGEGFAGDG∠AGD=∠EGF，第一问：AD=BC△AGD与△BGC全等.第三问：ADEF根据AD、BC所在直线互相垂直，可得∠AGB=90，则∠AGE=45，2ADAGEFGE一组对边垂直且相等的四边形的另一组对边的中点的连线长等于相等边的长的22如图，已知E,F分别为AB,AC的中点，AD⊥BC，AD=BC,求证：22ADEFFCEABD方法1：由中点构造中位线KFCEABDLFCEABDMFCEABDNFCEABD方法2：由中点延长构造全等三角形D'A'FECBGADFEGAD旋转全等，旋转相似•旋转相似：•在平面内,若先将一个多边形F以点O为位似中心在点O的同侧放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为k,再将所得多边形以点O为旋转中心,逆时针旋转一个角度θ,得到多边形F′,则称这种变换为旋转相似变换,记为O(k,θ);称多边形F与多边形F′旋转相似,其中点O叫做旋转相似中心,k叫做相似比,θ叫做旋转角.EBACDD'E'BACD'E'BAC△ABC∽△AD’E’，相似比旋转角为∠BAD’；'ABAD△ABD’∽△ACE’，相似比ABAC旋转角为∠BAC；识别一对显性旋转相似，挖掘一对隐性旋转相似.D'E'BACD'E'BACD'E'BACD'E'BAC位置特殊化D’，E’运动到特殊的位置，B、D’、E’共线时，C、D’、E’共线时.D'E'BACD'E'BACD'E'BACD'E'BACD'E'BACD'E'BAC图形特殊化2.如图，△ABC和△EFG均为等边三角形，点D既是AC的中点，又是EG的中点，△EFG绕着点D旋转，请问在旋转过程中AE∶BF的值是否会改变？若变化，请说明理由，若不变，请求出这个不变的值.FGDABCE有公共中点D的两个相似的等边三角形△ABC,△EFG为载体.FGDABCE∠ADE=∠BDFADEDBDDF△ADE∽△BDF.13=33AEADBFBDFGDABCEFGDABCEFGDABCEFGDABCE在△EFG绕着点D旋转的过程中，△ADE∽△BDF在不同时刻的下的位置.3.如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.（1）问题发现①当0时，_____________BDAE；②当180时，.__________BDAE（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，DBAE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.（3）问题解决当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.（4）勇于挑战记直线AE与直线BD的交点为点F，求F到BC所在直线的距离的最大值.ECDBA（图1）EDBAC（图2）（备用图）CBADEABC52AEACECBDBCDCDEABC∠ECA=∠DCB，△ECA∽△DCB，52AEBD52ECACCDBCE1E2D2D1DEABCD'E'ACBHF'FD'E'GACB错解1F1GCBD1F3F2GCBD2D3TF1GCBD1DEABCDEABC错解FD'E'GACBQPF2GABCD2NMF3GABCD321tantan2ACBAFB290CDB230CBD,2ABF解2231FQ3231FM练习：1.如图，点A是正方形ABCD与正方形AEFG的公共顶点，将正方形AEFG绕着点A旋转，在旋转过程中DG∶CF的值是否会改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值.FGDCABE2．以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，FMEM=_______；②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（060），其他条件不变，判断FMEM的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．33CDBOMEFADMBOFCEA数学家高斯所说：“数学中的一些美丽定理具有这样的特性，它们极易从事实中归纳出来,但证明却隐藏得极深，数学不愧是科学之王.”