2.3解三角形的实际应用举例课件ppt(北师大版必修五)

课前探究学习课堂讲练互动熟练掌握正、余弦定理．能够运用正、余弦定理等知识和方法求解距离、高度和角度等问题．§3解三角形的实际应用举例【课标要求】【核心扫描】求解距离、高度和角度等问题．(重点)从实际问题中抽象出数学模型(即画出三角形)．(难点)1．2．1．2．课前探究学习课堂讲练互动仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线_____时叫仰角，目标视线在水平视线_____时叫俯角，如图所示．自学导引1．上方下方课前探究学习课堂讲练互动方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图所示)．2．方位角的其他表示——方向角(1)正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上．依此可类推正北方向、正东方向和正西方向．(2)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图所示)．3．想一想：用三角形知识解决高度，角度问题的关键是什么？提示关键是将要解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后求解．课前探究学习课堂讲练互动测量中的有关概念、名词、术语的应用(1)在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，目的是使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．(2)准确了解测量中的有关概念、名词、术语，方能理解实际问题的题意，根据题意作出示意图．(3)方位角α的范围是0°α360°，方向角β的范围是0°β90°.名师点睛1．课前探究学习课堂讲练互动解三角形应用题的一般步骤2．课前探究学习课堂讲练互动用三角形解实际问题的技巧有些实际问题常抽象成解三角形问题，一般有以下两种类型：(1)已知量与未知量集中在一个三角形中可用正弦定理或余弦定理直接求解．(2)已知量与未知量涉及两个(或多个)三角形时，在已知条件下，弄清哪个三角形可解，为解其他三角形需求可解三角形的哪个边(角)．有时需设出未知量，由已知条件列出方程，然后解方程得出所要求的解．3．课前探究学习课堂讲练互动题型一测量距离问题某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？[思路探索]欲求AD，应先求出AB；从△ABC中求AB，还需求出AC；在△ABC中求AC，只需求出sinB；在△BCD中，可求出cosB,进而求出sinB问题即可解决．【例1】课前探究学习课堂讲练互动由BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cosA得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35或AB＝－11(舍去)．∴AD＝AB－BD＝15(千米)．∴故此人在D处距A还有15千米．解如图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，cosB＝312＋202－2122×31×20＝2331，所以sinB＝12331.在△ABC中，AC＝BCsinBsinA＝31×12331sin60°＝24(千米)．课前探究学习课堂讲练互动规律方法测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．课前探究学习课堂讲练互动如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()．【训练1】A．502mB．503mC．252mD.2522m课前探究学习课堂讲练互动答案A解析∵∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠B＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理：ACsinB＝ABsinC，∴AB＝AC·sinCsinB＝50×2212＝502(m)．课前探究学习课堂讲练互动A、B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD(精确到整数)．[思路探索]解答本题可先求出∠BDA，然后由正弦定理求出AD即可．【例2】题型二测量高度问题解如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由ABsin15°＝ADsin45°，课前探究学习课堂讲练互动规律方法解决测量高度问题的一般步骤是：(1)画图：根据已知条件画出示意图；(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形；(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．得AD＝AB·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∴CD＝AD＝800(3＋1)≈2186(m)．所以山高CD约为2186(m)．课前探究学习课堂讲练互动地平面上有一旗杆设为OP，已知地平面上的一基线AB，AB＝200m，在A处测得P点的仰角为∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角为∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高h.【训练2】解如图，∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，∠AOB＝60°，AB＝200m，在△OAP中，∵OP⊥AO，∴∠AOP＝90°，则OPOA＝tan30°，∴OA＝OPtan30°＝3h(m)，同理在△BOP中，∠BOP＝90°，课前探究学习课堂讲练互动且∠OBP＝45°，∴OB＝OP＝h，在△OAB中，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即2002＝3h2＋h2－23h2·cos60°，解得h＝2004－3(m)．所以旗杆高为2004－3m.课前探究学习课堂讲练互动审题指导本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查学生对实际应用问题的理解分析能力，同时也考查了学生的计算能力．【例3】题型三测量角度问题(本题满分12分)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？课前探究学习课堂讲练互动[规范解答]设缉私船用th在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝103t，BD＝10t，(2分)在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6，(6分)课前探究学习课堂讲练互动【题后反思】测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22，∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角．(8分)∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，(10分)∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．(12分)课前探究学习课堂讲练互动如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得一建筑物顶端C对于山坡的坡度为15°，向山顶前进100m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高度为50m，求此山相对于地平面的倾斜角的余弦值．【训练3】解100sin30°＝ACsin135°，∴AC＝1002m，∵100sin30°＝BCsin15°.∴BC＝50(6－2)m设倾斜角为θ，则BCsin90°＋θ＝50sin45°，∴cosθ＝3－1.∴此山相对于地平面的倾斜角的余弦值为3－1.课前探究学习课堂讲练互动函数与方程思想是高中数学的一条主线，函数思想就是在解决问题时，用函数的观点去观察、分析问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来加以研究，从而解决问题．本节正、余弦定理的应用问题为函数思想的应用搭建了一个很好的平台，利用正、余弦定理实现边角转化，将问题转化为函数关系，某些最值、范围等问题就可顺利解决．方法技巧函数与方程的思想课前探究学习课堂讲练互动在一次反恐演习中，某特警在一条笔直的公路上追击前方20公里的一恐怖分子，此时恐怖分子正在跳下公路，沿与前方公路成60°角的方向以每小时8公里的速度逃跑，已知特警在公路上的速度为每小时10公里．特警决定在公路上离恐怖分子最近时将其击毙，问再过多少小时，特警向恐怖分子射击．[思路分析]根据人物的不同位置，分情况列出相距最近的表达式，利用二次函数求最值的条件即可求所需时间．【示例】课前探究学习课堂讲练互动解设开始时特警在B地，恐怖分子在A地，t小时后两人分别到达Q，P两地，特警到达A地需2小时，分别画出示意图．图1图2(1)当0≤t≤2时，如图1，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝20－10t，∴PQ＝AQ2＋AP2－AP·AQcos120°＝课前探究学习课堂讲练互动＝84t2－240t＋400＝221t2－60t＋100.(2)当t2时，如图2，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20，∴PQ＝AQ2＋AP2－2AQ·APcos60°＝221t2－60t＋100，综合(1)(2)可知PQ＝221t2－60t＋100(t≥0)，∴当t＝3021＝107时，PQ最小．所以，再过107小时，特警向恐怖分子射击．课前探究学习课堂讲练互动方法点评函数关系的建立及最值的求法(1)依据条件，确定适当的变量，如时间、距离、角度等．(2)利用正、余弦定理在三角形中寻找关系．(3)建立相应函数关系式，利用二次函数或三角函数求最值的方法使问题得到解决．