《综合法和分析法》

2020/3/9孝高蒋志方12.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.复习推理合情推理演绎推理归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有哪些呢？间接证明（反证法）分析法综合法直接证明证明的方法问题:在《数学5(必修)》中，我们如何证明基本不等式(0,0)?2≤ababab指出其中的证明方法的特点.证法1:对于正数a,b,有202022≥≥≥≥ababababababab（）证法2:要证只要证只要证只要证2≤abab2≤abab02≤aabb20()≤ab因为最后一个不等式成立，故结论成立。综合法分析法表达简洁!目的性强,易于探索!１.综合法——由因导果从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.(又称顺推证法)探索求知注：用P表示已知条件,已有的定义,定理,公理等.Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:PQ1QnQQ2Q3Q1Q2…特点:由因导果(浮想联翩,尝试前进!)2.分析法探索求知从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公理等).这种证明的方法叫做分析法.（又称倒推证法）——执果索因注：用Q表示所要证明的结论,则分析法可用框图表示为:得到一个明显成立的条件QP1P1P2P2P3…特点:执果索因(执果索因,妙在转化!)例:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2≥2bc,a0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。探索求知例：求证不等式：.10578.注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的条件。证明：要证,10578.)105()78(22即证.50210556278.5056,502562即故不等式成立.只需证只需证3．设a＝3＋22，b＝2＋7，则a、b的大小关系为________．解析：a＝3＋22，b＝2＋7两式的两边分别平方，可得a2＝11＋46，b2＝11＋47，明显67，故ab.答案：ab【分析法】从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。要证：只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以结论成立要证：所以结论成立格式22222π例.已知α,β≠kπ+(kZ),且2sinθ+cosθ=2sinαsinθcosθ=sinβ1-tanα1-tanβ求=.1+tanα2(1+tanβ)证:例：1PP21PP'PPnmQQ'12QQQQ1上述过程可用框图表示:直接证明(回顾小结)分析法解题方向比较明确，利于寻找解题思路；综合法条理清晰，易于表述。通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程分析法综合法概念直接证明（综合法和分析法）上述两种证法有什么异同？都是直接证明证法1综合法：由因导果，形式简洁，易于表述；相同不同证法2分析法：执果索因，利于思考，易于探路【巩固练习】abbaba16)sintan,sintan22cossincos122244（：求证已知、、求证：作业：P12习题1-21，2，4，6，7，9