chapter6-4-相对论理论的四维形式

§6.4相对论理论的四维形式当参考系改变时，时空坐标互相变换，三维空间和一维时间构成一个统一体——四维时空四维时空理论可用简洁的四维形式表述出来：在相对论中时间和空间不可分割:1.三维空间的正交变换——三维空间的转动性质设坐标系Σ′相对于坐标系Σ转了一个角θ(1)二维平面上的坐标系转动设平面上一点的坐标在Σ系为(x,y),在Σ´系为(x′,y′)θθθθcossinsincosyxyyxx+−=′+=′不变量=′+′=+=22222yxyxOP满足此式的二维平面上的线性变换称为正交变换坐标系转动属于正交变换设υ为平面上任意矢量，在Σ系中的分量为υx,υy;在Σ′系中的分量为υ′x,υ′y矢量长度平方为|υ|2=υ2x+υ2y=υ′2x+υ′2y=不变量这些分量有变换关系：θυθυυθυθυυcossinsincosyxyyxx+−=′+=′任意矢量的变换与坐标变换具有相同的形式设Σ系的直角坐标为(x1,x2,x3),Σ′系的直角坐标为(x′1,x′2,x′3)（2）三维坐标转动三维坐标线性变换一般具有形式333232131332322212123132121111xaxaxaxxaxaxaxxaxaxax++=′++=′++=′坐标系转动时距离保持不变,应有232221232221xxxxxx++=′+′+′满足此式的线性变换称为正交变换空间转动属于正交变换,式中的系数aij依赖于转动轴和转动角32,1,,31==′∑=ixaxjjiji变换式可以一般地写成：现代物理中一般约定：当公式中出现重复上、下标时，代表对该指标求和由此约定，变换式可简写为jijixax=′正交条件是不变量==′′iiiixxxxiikikjijxxxaxa=⎩⎨⎧≠==kjkjjk若若0,1δjijixax=′jkikijaaδ=由正交条件可以得到对变换系数aij的限制不变量==′′iiiixxxxkjjkkjikijxxxxaaδ=——此式代表正交变换条件ljljjijiliilxxxaaxa===′δiillxax′=jijixax=′变换的逆变换式：变换式两边乘以ail并对i求和所以变换系数可以写成矩阵形式转置矩阵定义为jiijaa=~正交条件式可用矩阵乘法写为Iaa=~——其中I为单位矩阵[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211aaaaaaaaaaija~变换系数矩阵形式2.物理量按空间变换性质的分类物理量可以分为标量、矢量、张量等，这种分类是根据物理量在空间转动下的变换性质分类来划分的(1)标量在空间中没有取向，当坐标系转动时保持不变，这样的物理量称为标量设在坐标系Σ中某标量用u表示,在转动后的坐标系Σ′中用u′表示，由标量不变性有如质量、电荷等uu=′(2)矢量在空间中有一定的取向，用三个分量表示，当空间坐标作转动变换时，三个分量按同一方式变换，这样的物理量称为矢量以υ代表矢量与坐标变换式对应,有矢量变换关系：坐标系Σ中：分量为υi转动后的Σ′系中：分量为υ′ijijiaυυ=′例如速度、力、电场强度和磁场强度等都是矢量有些微分算符也具有矢量性质ix∂∂/ix′∂∂/jijjijixaxxxx∂∂=∂∂′∂∂=′∂∂例如：▽算符Σ系中的分量Σ′系中的分量坐标转动后，算符的变换关系为iillxax′=变换关系与矢量相同(3)二阶张量●这类物理量要用两个矢量指标表示,有9个分量具有这种变换关系的物理量称为二阶张量kljlikijTaaT=′●有些物理量具有更加复杂的空间取向性质当空间转动时,其分量Tij按以下方式变换例如：应力张量,电四极矩等jikliljkkljkillkjlikkljlikijTTaaTaaTaaTaaT′=====′则变换后的张量仍是对称的①若张量对指标具有对称性：jiijTT=反对称张量Tij=-Tji变换后仍为反对称张量②同样：张量的一些性质：③对称张量的迹是一个标量不变量====′kkklklklilikiiTTTaaTδ(1)迹Tii电四极矩就是一个无迹对称张量,它只有5个独立分量二阶张量可以分为三个部分：(2)无迹对称张量Tij=Tji,Tii=0(3)反对称张量Tij=-Tji.(a)两矢量υ和w的标积υiwi是一个标量(b)张量Tij可以和一个矢量υj作出乘积此式具有矢量的变换关系，因此是一个矢量T′ijυ′j=aikajlTklajnυn=aikδlnTklυn=aikTklυl不变量====′′jjkjjkkikjijiiυυδυυ④二阶张量与矢量的标积是一个矢量Tijυj在坐标转到变换下：●三维坐标转动是满足距离不变的线性变换,即jijixax=′3.洛伦兹变换的四维形式●洛伦兹变换是满足间隔不变的四维时空线性变换2223222122232221tcxxxtcxxx−++=′−′+′+′不变量=++=′+′+′232221232221xxxxxx如果形式上引入第四维虚数坐标:x4=ict则间隔不变式可写为以后在下角指标中用拉丁字母代表1-3希腊字母代表1-4不变量=+++=′+′+′+′2423222124232221xxxxxxxx间隔不变式可写为不变量==′′μμμμxxxx洛伦兹变换是满足间隔不变性式的四维线性变换νμνμxax=′洛伦兹变换形式上可以看作四维空间的“转动”●三维正交变换的关系可以形式上推广到洛伦兹变换中去●须注意的是,这四维空间的第四个坐标是虚数,因此它是复四维空间,不同于实数的四维欧几里德(Euclid)空间沿x轴方向的特殊洛伦兹变换式的变换矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=γβγβγγ000100001000iia2211ccυγυβ−==,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−==−γβγβγγ0001000010001iiaa~逆变换矩阵为变换式满足正交条件Iaa=~●在四维形式中，时间与空间统一在一个四维空间内，惯性参考系的变换相当于四维空间的“转动”4.四维协变量●把三维情形推广，我们也可以按照物理量在四维空间转动（洛伦兹变换）下的变换性质来把物理量分类νμνμVaV=′(2)四维矢量洛伦兹标量：在惯性系变换下与坐标有相同变换关系，即(1)洛伦兹标量在惯性系变换下不变的物理量称为洛伦兹标量或不变量uu=′例如：间隔μμdxdxds−=2固有时dscd1=τ这样的物理量称为四维矢量标量、矢量和各阶张量，这些物理量在洛伦兹变换下有确定的变换性质，称为协变量λτντμλμνTaaT=′（3）四维张量在惯性系变换下，满足变换关系这样的物理量称为四维张量①四维速度矢量UμτμμddxU=ui不是四维矢量的分量dtdxuii=(4)一些常用的四维矢量而通常意义下的速度在洛伦兹变换下，Uμ按四维矢量的方式变换，因此它是一个四维矢量，称为四维速度矢量定义因为当坐标系变换时，dxi按四维矢量的分量变换,但dt也发生改变,因此ui不按四维矢量方式变换ucuddtγτ≡−=2211通常意义下的速度ui是用参考系Σ的时间量度的位移变化率xυ而Ui是用固有时量度的位移变化率因为所以四维速度的分量是),,,(321icuuuUuγμ=Uμ的前三个分量和普通速度联系着，当υc时即为u,因此称为四维速度参考系变换时,四维速度有变换关系νμνμUaU=′②四维波矢量设有一角频率为ω,波矢量为k的平面电磁波在真空中传播在另一参考系Σ′上观察,该电磁波的频率和传播方向都会发生改变以ω′和k′表示Σ′上观察到的角频率和波矢量我们来研究波矢k和角频率ω如何变化电磁波的相位因子是teiωφφ−⋅=xk,在另一参考系观察，相位因子为tei′′−′⋅′=′′ωφφxk,不同参考系中电磁波相位之间的关系x0x′分析相位φ和φ′之间的关系：设参考系Σ和Σ′的原点在时刻t=t′=0重合在零时刻,两参考系的原点上都观察到电磁波处于波峰,相位φ=φ′=0第一事件：x0x′在Σ系n个周期(t=2πn/ω)后,第n个波峰通过Σ系原点,相位φ=-2πn第二事件：它在Σ上的时空坐标为(x=0,t=2πn/ω)在Σ′上的时空坐标(x′,t′)可用洛伦兹变换求得,而相位同样是φ′=-2πn因为某个波峰通过某一时空点是一个物理事件，而相位只是计数问题，不随参考系而变不变量=′=φφ不变量=′′−′⋅′=−⋅ttωωxkxk即:●x与ict合为四维矢量xμ不变量==′′μμμμxkxk四维波矢量),(cikωμk=因此，相位是一个不变量：●因此，若k与iω/c合为另一个四维矢量kμ,它们按四维矢量方式变换,就会有在洛伦兹变换下,kμ的变换式为νμνμkak=′在特殊洛伦兹变换下⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=′=′=′−=′)()(13322211kkkkkckkυωγωωυγυxyzox′y′z′o′设波矢量k与x轴方向的夹角为θ,k′与x轴的夹角为θ′，有θωθω′′=′=cos,cos11ckck)(cossin),cos1(ctgcυθγθθθυωγω−=′−=′——相对论的多普勒效应和光行差公式根据波矢量的洛伦兹变换关系，可以解出ω′=ω0)cos(θγωωυc−=10)(,coscc−≈υθωωυ10若Σ′为光源的静止参考系,则—ω0为静止光源的辐射角频率运动光源辐射的角频率当υc时，γ≈1,得经典多普勒效应公式其中：υ为光源的运动速度θ为Σ上观察者看到辐射方向与光源运动方向的夹角ω=ω0)(,D901220=−=θωωυc横向多普勒效应为Ives-Stilwell实验所证实,它是相对论时间延缓效应的证据之一而相对论公式给出在垂直于光源运动方向观察辐射时,经典公式给出即在垂直于光源运动方向上,观察到的角频率小于静止光源的辐射频率，这个现象称为横向多普勒效应设在参考系Σ上观察，由光源辐射出的光线在xy面上，与x轴有夹角θ，则θθsincoscucuyx==设Σ′系相对于Σ以速度υ沿x轴方向运动，在Σ′系上观察到光线与x′轴有夹角θ′)(cossin)(cxyxyuuuutgυθγθυγθ−=−=′′=′光行差公式也可以由速度变换公式导出υxyox′y′o′ΣΣ′1112222cucyycuxxxxuuuuυυυυ−−=′−−=′●设地球相对于太阳参考系Σ的运动速度为υctgυααα+≈′cossin光行差较早为天文观测所发现(Bradley于1728年)●在Σ上看到某恒星发出的光线的倾角为α=π-θ●在地球上用望远镜观察该恒星时,倾角变为α′=π-θ′由于υc,由角度变换公式得由于地球绕太阳公转,一年之内地球运动速度的方向变化一个周期,因此,同一颗恒星发出的光线的表观方向也变化一个周期天文观测证实了这种周期变化,并且由光线表观方向的改变比较准确地导出光的传播速度ctgυααα+≈′cossin在参考系变换下，有μμGF=μνμννμνμGGaFaF′===′（5）物理规律的协变性如果一个方程的每一项都属于同类协变量，在参考系变换下，每一项都按相同方式变换，那么方程形式就会保持不变设某方程具有形式：———其中Fμ和Gμ都是四维矢量在新参考系中仍然有μμGF′=′形式上，此方程和原参考系的方程一致在参考系变换下方程形式不变的性质称为协变性相对性原理要求一切惯性参考系都是等价的，在不同惯性系中，物理规律应该可以表为相同形式