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1第三章导数应用测评一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)=2x-sinx在(-∞,+∞)上()A.是增函数B.是减函数C.有最大值D.有最小值解析:∵f'(x)=2-cosx0,∴f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.答案:A2函数f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值为6,极小值为2,则a+b=()A.5B.3C.8D.4解析:令f'(x)=3x2-3a=0,得x=±√.经分析知f(√)=2,f(-√)=6,解得a=1,b=4,a+b=5.答案:A3若函数f(x)=x2+bx+c的图像顶点在第四象限,则其导函数f'(x)的图像可能是()解析:f(x)=x2+bx+c=()-.由题意,得{--{又f'(x)=2x+b.由b0,知f'(x)的图像为选项A.答案:A4函数f(x)=2x3-6x2-18x-7在[1,4]上的最小值为()A.-64B.-51C.-56D.-61解析:f'(x)=6x2-12x-18.令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3.又f(3)=-61,f(1)=-29,f(4)=-47,即可得f(x)的最小值为-61.答案:D5函数f(x)=sinx+2xf'(),f'(x)为f(x)的导函数,令a=-,b=log32,则下列关系正确的是()A.f(a)f(b)B.f(a)f(b)C.f(a)=f(b)D.f(|a|)f(b)解析:∵f'(x)=cosx+2f'(),∴f'()=cos+2f'(),即f'()=-.∴f(x)=sinx-x.又f'(x)=cosx-1≤0,2故f(x)在R上递减.又∵-log32,∴f(-)f(log32),即f(a)f(b).答案:A6若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)为增函数,则()A.b2-4ac0B.b0,c0C.b=0,c0D.b2-3ac≤0解析:∵f(x)为增函数,∴f'(x)=3ax2+2bx+c≥0恒成立.∴Δ=4b2-12ac≤0.∴b2-3ac≤0.故选D.答案:D7设p:f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)内递增,q:m≥,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:f'(x)=3x2+4x+m.若f(x)在R上递增,则f'(x)≥0.由Δ=16-4×3×m≤0,得m≥.又q:m≥,则p是q的充要条件.答案:C8(2013·浙江高考)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则()A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值解析:当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1),f'(x)=xex-1,∵f'(1)=e-1≠0,∴f(x)在x=1处不能取到极值;当k=2时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,f'(x)=(x-1)(xex+ex-2),令H(x)=xex+ex-2,则H'(x)=xex+2ex0,x∈(0,+∞).说明H(x)在(0,+∞)上为增加的,且H(1)=2e-20,H(0)=-10,因此当x0x1(x0为H(x)的零点)时,f'(x)0,f(x)在(x0,1)上为减少的.当x1时,f'(x)0,f(x)在(1,+∞)上是增加的.∴x=1是f(x)的极小值点,故选C.答案:C9要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为()A.√cmB.√cmC.√cmD.√cm3解析:设圆锥的高为x,则底面半径为√-,其体积为V=πx(202-x2)(0x20),则V'=π(400-3x2).令V'=0,解得x1=√,x2=-√(舍去).当0x√时,V'0,当√x20时,V'0,所以当x=√时,V取最大值.答案:D10已知函数y=x3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,则c=()A.-2或2B.-9或3C.-1或1D.-3或1解析:y'=3x2-3=3(x+1)(x-1).当y'0时,x-1或x1;当y'0时,-1x1.∴函数的递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),递减区间为(-1,1).∴x=-1时,取得极大值;x=1时,取得极小值.要使函数图像与x轴恰有两个公共点,只需:f(-1)=0或f(1)=0,即(-1)3-3×(-1)+c=0或13-3×1+c=0,∴c=-2或c=2.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11函数y=2x3-6x2+11的递减区间为.解析:由y'=6x2-12x,令6x2-12x0,得0x2.答案:(0,2)12函数f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1]的最大值为,最小值为.解析:∵f'(x)=3x2-6x+6=3[(x-1)2+1]0,∴函数f(x)在[-1,1]上为增加的,故最大值为f(1)=2,最小值为f(-1)=-12.答案:2-1213已知函数y=x3+x2+ax-5,若函数的递减区间是(-3,1),则实数a的值是.解析:由于y'=x2+2x+a,由函数的递减区间是(-3,1)知{x|f'(x)0}={x|-3x1},所以-3,1是方程x2+2x+a=0的两个实数根,由根与系数的关系,(-3)·1=a,所以a=-3.答案:-314若函数f(x)=x3-ax2+3ax+1在区间(-∞,+∞)内既有极大值,又有极小值,则实数a的取值范围是.解析:由题意得f'(x)=3x2-2ax+3a=0有两个不同的实根,故Δ=(-2a)2-4×3×3a0,解得a0或a9.答案:(-∞,0)∪(9,+∞)15点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则P到直线y=x-2的距离的最小值是.解析:设P(x0,y0),由题意,过点P的曲线的切线与直线y=x-2平行时,P到直线y=x-2的距离最小.由y'=2x-,得x=x0时2x0-=1,解得x0=-或x0=1.4又x0,∴x0=1,则y0=1.∴P(1,1).∴P到直线y=x-2的距离的最小值为--√√.答案:√三、解答题(本大题共2小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(10分)求证:x0时,1+2xe2x.分析:利用函数的单调性证明不等式是常用的方法之一,而函数的单调性,可利用其导函数的符号确定.证明:设f(x)=1+2x-e2x,则f'(x)=2-2e2x=2(1-e2x).当x0时,e2x1,f'(x)=2(1-e2x)0,所以函数f(x)=1+2x-e2x在(0,+∞)上是减少的.当x0时,f(x)f(0)=0,即当x0时,1+2x-e2x0,即1+2xe2x.17(15分)(2013·课标全国Ⅱ高考)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m≤2时,证明f(x)0.(1)解:f'(x)=ex-.由x=0是f(x)的极值点得f'(0)=0,所以m=1.于是f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f'(x)=ex-.函数f'(x)=ex-在(-1,+∞)上递增,且f'(0)=0.因此当x∈(-1,0)时,f'(x)0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)0.所以f(x)在(-1,0)上递减,在(0,+∞)上递增.(2)证明:当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时,f(x)0.当m=2时,函数f'(x)=ex-在(-2,+∞)上递增.又f'(-1)0,f'(0)0,故f'(x)=0在(-2,+∞)上有唯一实根x0,且x0∈(-1,0).当x∈(-2,x0)时,f'(x)0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)0,从而当x=x0时,f(x)取得最小值.由f'(x0)=0得,ln(x0+2)=-x0,故f(x)≥f(x0)=+x0=0.综上,当m≤2时,f(x)0.