第17课时 等腰三角形与直角三角形

第一部分教材知识梳理第四单元三角形第17课时等腰三角形与直角三角形中考考点清单考点1等腰三角形的性质与判定（高频考点）1.等腰三角形性质(1)等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线(2)等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）(3)等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）判定(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）(2)有两边相等的三角形是等腰三角形性质(1)等边三角形的三个内角相等，且都等于60°(2)等边三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）判定(1)三个角都是60°的三角形是等边三角形(2)有一个角是①____的等腰三角形是等边三角形(3)三条边相等的三角形是等边三角形(2)等边三角形60°考点2直角三角形1.勾股定理及其逆定理(1)勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即a2+b2＝c2.(2)勾股定理的逆定理如果三角形三边长为a，b，c，满足关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.性质（1）直角三角形的两个锐角互余（2）斜边上的中线等于斜边的②_____（3）30°角所对的直角边等于斜边的③_____（4）勾股定理，若直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c,则有a2+b2=c2（5）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于④____（6）直角三角形的面积等于两直角边乘积的⑤_____2.直角三角形的性质与判定一半30°一半一半判定（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形（2）利用勾股定理的逆定理进行判定常考类型剖析典例精讲类型一等腰三角形的相关计算运用分类讨论思想求等腰三角形的角度问题例1已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为__________________.45°或75°或15°12【思路点拨】本题需分以下三种情况讨论：①AB=AC,根据AD=BC,AD⊥BC可知△ABC为等腰直角三角形，即可求得底角的度数；②AC=BC且为锐角等腰三角形，根据AC=BC，AD＝BC,AD⊥BC可求出顶角的度数，继而求得底角度数；③AC=BC且为钝角等腰三角形，根据已知条件可求得与顶角相邻的三角形的外角的度数，再根据外角等于不相邻两内角之和即可求解.1212【解析】本题应分情况讨论：如解图①，AB=AC,∵AD⊥BC,∴BD=CD=BC,∠ADB=90°，∵AD=BC,∴AD=BD,∴∠B=45°，即此时△ABC底角的度数为45°；如解图②，AC=BC,∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°，∵AD=BC,∴AD=AC,∴∠C=30°，∴∠CAB=∠B=75°，即此时△ABC底角的度数为75°；12121212如解图③AD⊥BC,AD=BC=AC,∴∠ACD=30°，∴∠ACB=150°，∴∠CAB=∠CBA=15°，∴此时△ABC底角的度数为15°.综上，△ABC底角度数为45°或75°或15°例1题解图1212拓展1如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.（1）求证：DE=DE；（2）若∠A＝90°，图中与DE相等的有哪些线段？（不说明理由）拓展1题图解：（1）如解图，连接AD.∵AB=AC,D是BC的中点，∴∠EAD=∠FAD,∵DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别为E、F，∴DE=DF；（2）若∠BAC＝90°，图中与DE相等的有线段AE、AF、BE、CF.拓展1题解图类型二直角三角形的相关计算例2（’14宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD＝4，CD=2,则AB的长是______.例2题图43【解析】如解图，作DE⊥AB于E.∵AD平分∠BAC,∴CD=DE=2，又∵在Rt△DBE中，BE==，∠B=30°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAD=∠DAB=30°，∴AD=2DE=2×2=4.∴AE==，∴AB=AE+BE=+=.例2题解图224223232322422343E拓展2（’14无锡）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于_____.拓展2题图8【解析】∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE＝5，∴DE＝AC＝5，∴AC=10.在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD=6,AC＝10，则根据勾股定理得:CD==＝8.22ACAD22106