圆的参数方程练习题有答案

圆的参数方程1.已知曲线C的参数方程为x＝2cosθy＝3sinθ，(θ为参数，0≤θ2π)判断点A(2，0)，B－3，32是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．解：将点A(2，0)的坐标代入x＝2cosθy＝3sinθ，得cosθ＝1，sinθ＝0.由于0≤θ2π，解得θ＝0，所以点A(2，0)在曲线C上，对应θ＝0.将点B－3，32的坐标代入x＝2cosθy＝3sinθ，得－3＝2cosθ，32＝3sinθ，即cosθ＝－32，sinθ＝12.由于0≤θ2π，解得θ＝5π6，所以点B－3，32在曲线C上，对应θ＝5π6.2.已知曲线C的参数方程是x＝2ty＝3t2－1，(t为参数)．(1)判断点M1(0，－1)和M2(4，10)与曲线C的位置关系；(2)已知点M(2，a)在曲线C上，求a的值．[思路点拨](1)将点的坐标代入参数方程，判断参数是否存在．(2)将点的坐标代入参数方程，解方程组．[解](1)把点M1(0，－1)的坐标代入参数方程x＝2t，y＝3t2－1，得0＝2t－1＝3t2－1，∴t＝0.即点M1(0，－1)在曲线C上．把点M2(4，10)的坐标代入参数方程x＝2t，y＝3t2－1，得4＝2t10＝3t2－1，方程组无解．即点M2(4，10)不在曲线C上．(2)∵点M(2，a)在曲线C上，∴2＝2t，a＝3t2－1.∴t＝1，a＝3×12－1＝2.即a的值为2.3.已知曲线C的参数方程为x＝t2＋1y＝2t，(t为参数)．①判断点A(1，0)，B(5，4)，E(3，2)与曲线C的位置关系；②若点F(10，a)在曲线C上，求实数a的值．解：①把点A(1，0)的坐标代入方程组，解得t＝0，所以点A(1，0)在曲线上．把点B(5，4)的坐标代入方程组，解得t＝2，所以点B(5，4)也在曲线上．把点E(3，2)的坐标代入方程组，得到3＝t2＋1，2＝2t，即t＝±2，t＝1.故t不存在，所以点E不在曲线上．②令10＝t2＋1，解得t＝±3，故a＝2t＝±6.4.(1)曲线C：x＝ty＝t－2，(t为参数)与y轴的交点坐标是____________．解析：令x＝0，即t＝0得y＝－2，∴曲线C与y轴交点坐标是(0，－2)．答案：(0，－2)(2)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＝t＋1y＝1－2t，(t为参数)与曲线C2：x＝asinθy＝3cosθ，(θ为参数，a0)有一个公共点在x轴，则a＝________．解析：由y＝0知1－2t＝0，t＝12，所以x＝t＋1＝12＋1＝32.令3cosθ＝0，则θ＝π2＋kπ(k∈Z)，sinθ＝±1，所以32＝±a.又a0，所以a＝32.答案：325.已知某条曲线C的参数方程为x＝1＋2ty＝at2，(其中t为参数，a∈R)．点M(5，4)在该曲线上，则常数a＝________．解析：∵点M(5，4)在曲线C上，∴5＝1＋2t4＝at2，解得t＝2，a＝1.∴a的值为1.答案：16.圆(x＋1)2＋(y－1)2＝4的一个参数方程为____________．解析：令x＋12＝cosθ，y－12＝sinθ得x＝－1＋2cosθy＝1＋2sinθ(θ为参数)．答案：x＝－1＋2cosθy＝1＋2sinθ(θ为参数)(注本题答案不唯一)7.已知圆的普通方程x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，则它的参数方程为____________．解析：由x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，得(x＋1)2＋(y－3)2＝1.令x＋1＝cosθ，y－3＝sinθ，所以参数方程为x＝－1＋cosθy＝3＋sinθ，(θ为参数)．答案：x＝－1＋cosθy＝3＋sinθ，(θ为参数)(注答案不唯一)8.圆(x＋2)2＋(y－3)2＝16的参数方程为()A.x＝2＋4cosθy＝－3＋4sinθ，(θ为参数)B.x＝－2＋4cosθy＝3＋4sinθ，(θ为参数)C.x＝2－4cosθy＝3－4sinθ，(θ为参数)D.x＝－2－4cosθy＝3－4sinθ，(θ为参数)解析：选B.∵圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为x＝a＋rcosθy＝b＋rsinθ，(θ为参数)∴圆(x＋2)2＋(y－3)2＝16的参数方程为x＝－2＋4cosθy＝3＋4sinθ，(θ为参数)9.已知圆的方程为x2＋y2＝2x，则它的一个参数方程是____________．解析：将x2＋y2＝2x化为(x－1)2＋y2＝1知圆心坐标为(1，0)，半径r＝1，∴它的一个参数方程为x＝1＋cosθy＝sinθ(θ为参数)．答案：x＝1＋cosθy＝sinθ(θ为参数)10.已知圆P：x＝1＋10cosθy＝－3＋10sinθ，(θ为参数)，则圆心P及半径r分别是()A．P(1，3)，r＝10B．P(1，3)，r＝10C．P(1，－3)，r＝10D．P(1，－3)，r＝10解析：选C.由圆P的参数方程可知圆心P(1，－3)，半径r＝10.11.圆的参数方程为x＝2＋2cosθy＝2sinθ，(θ为参数)，则圆的圆心坐标为()A．(0，2)B．(0，－2)C．(－2，0)D．(2，0)解析：选D.由x＝2＋2cosθy＝2sinθ得(x－2)2＋y2＝4，其圆心为(2，0)，半径r＝2.12.直线：3x－4y－9＝0与圆：x＝2cosθy＝2sinθ(θ为参数)的位置关系是()A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心解析：选D.圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d＝952，故选D.13.已知圆C：x＝－3＋2sinθy＝2cosθ，(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x轴交于A，B两点，则|AB|＝________．解析：令y＝2cosθ＝0，则cosθ＝0，因为θ∈[0，2π)，故θ＝π2或3π2，当θ＝π2时，x＝－3＋2sinπ2＝－1，当θ＝3π2时，x＝－3＋2sin3π2＝－5，故|AB|＝|－1＋5|＝4.答案：414.已知动圆x2＋y2－2xcosθ－2ysinθ＝0.求圆心的轨迹方程．解：设P(x，y)为所求轨迹上任一点．由x2＋y2－2xcosθ－2ysinθ＝0得：(x－cosθ)2＋(y－sinθ)2＝cos2θ＋sin2θ，∴x＝cosθy＝sinθ这就是所求的轨迹方程．15.P是以原点为圆心，r＝2的圆上的任意一点，Q(6，0)，M是PQ中点，(1)画图并写出⊙O的参数方程；(2)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程．解：(1)如图所示，⊙O的参数方程x＝2cosθ，y＝2sinθ.(2)设M(x，y)，P(2cosθ，2sinθ)，因Q(6，0)，∴M的参数方程为x＝6＋2cosθ2，y＝2sinθ2，即x＝3＋cosθ，y＝sinθ.16.已知点P(2，0)，点Q是圆x＝cosθy＝sinθ上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设Q(cosθ，sinθ)，PQ中点M(x，y)，则由中点坐标公式得x＝2＋cosθ2＝12cosθ＋1，y＝0＋sinθ2＝12sinθ.∴所求轨迹的参数方程为x＝12cosθ＋1y＝12sinθ(θ为参数)消去θ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝14，它表示以(1，0)为圆心、半径为12的圆．17.设Q(x1，y1)是单位圆x2＋y2＝1上一个动点，则动点P(x21－y21，x1y1)的轨迹方程是____________．解析：设x1＝cosθ，y1＝sinθ，P(x，y)．则x＝x21－y21＝cos2θ，y＝x1y1＝12sin2θ.即x＝cos2θ，y＝12sin2θ，为所求．答案：x＝cos2θy＝12sin2θ18.已知P是曲线x＝2＋cosαy＝sinα，(α为参数)上任意一点，则(x－1)2＋(y＋1)2的最大值为________．解析：将x＝2＋cosαy＝sinα代入(x－1)2＋(y＋1)2得(1＋cosα)2＋(1＋sinα)2＝2sinα＋2cosα＋3＝22sinα＋π4＋3，∴当sinα＋π4＝1时有最大值为3＋22.答案：3＋2219.已知点P(x，y)在曲线C：x＝1＋cosθy＝sinθ，(θ为参数)上，则x－2y的最大值为()A．2B．－2C．1＋5D．1－5解析：选C.由题意，得x＝1＋cosθ，y＝sinθ，所以x－2y＝1＋cosθ－2sinθ＝1－(2sinθ－cosθ)＝1－525sinθ－15cosθ＝1－5sin()θ－φ其中tanφ＝12，所以x－2y的最大值为1＋5.20.已知曲线C的参数方程为x＝1＋cosθy＝sinθ，(θ为参数)，求曲线C上的点到直线l：x－y＋1＝0的距离的最大值．解：点C(1＋cosθ，sinθ)到直线l的距离d＝|1＋cosθ－sinθ＋1|12＋12＝|2＋cosθ－sinθ|2＝2＋2cosθ＋π42≤2＋22＝2＋1，即曲线C上的点到直线l的最大距离为2＋1.21.(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝acost，y＝1＋asint，(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.[解](1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，ρ＝4cosθ.若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．所以a＝1.22.若P(x，y)是曲线x＝2＋cosαy＝sinα，(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为()A．36B．6C．26D．25解析：选A.依题意P(2＋cosα，sinα)，∴(x－5)2＋(y＋4)2＝(cosα－3)2＋(sinα＋4)2＝26－6cosα＋8sinα＝26＋10sin(α－φ)(其中cosφ＝45，sinφ＝35)∴当sin(α－φ)＝1，即α＝2kπ＋π2＋φ(k∈Z)时，有最大值为36.23.已知点P12，32，Q是圆x＝cosθy＝sinθ，(θ为参数)上的动点，则|PQ|的最大值是________．解析：由题意，设点Q(cosθ，sinθ)，则|PQ|＝cosθ－122＋sinθ－322＝2－3sinθ－cosθ＝2－2sinθ＋π6故|PQ|max＝2＋2＝2.答案：224.已知曲线方程x＝1＋cosθy＝sinθ，(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________．解析：设曲线上动点为P(x，y)，定点为A，则|PA|＝（1＋cosθ＋1）2＋（sinθ＋2）2＝9＋42sin