湖北省武汉市第十二中学等部分重点中学2014-2015学年度下学期高一期末测试数学试卷

（高一）《数学》试卷第页（共8页）学年度下学期高一期末测试数学试卷命题学校：武汉第十二中学余智敏审题人：陈贤才一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.不等式23210xx的解集是（）A．1,13B．1,C．1,1,3D．1,32.如右下图是一几何体的直观图、主视图和俯视图，则该几何体的侧视图是侧视图侧视图侧视图侧视图ABCD3.已知0,0ab，则336abab的最小值是（）A．10B．122C．12D．204.长方体1111ABCDABCD中，12,1ABAAAD，则异面直线1BC与AC所成角的余弦值为（）A．1010B．15C．105D．125.如果0ab且0ab，那么以下不等式正确的个数是（）①23abb②110ab③32aab④22abA．1B．2C．3D．46.ABC中，角,,ABC所对边的长分别为,,abc,则cosC的最小值为（）（高一）《数学》试卷第页（共8页）A．32B．22C．12D．127.在正项等比数列na中13213,,22aaa成等差数列，则2016201720142015aaaa等于A．3或-1B．9或1C．1D．98.在ABC中，3,1,6ABACB，则ABC的面积等于（）A．32B．3324或C．34D．332或9.已知数列na满足：117a，对于任意的*nN，17(1)2nnnaaa，则999888aa=（）A．27B．27C．37D．3710.在函数()yfx的图象上有点列(,)nnxy，若数列nx是等差数列，数列ny是等比数列，则函数()yfx的解析式可能为（）A．()21fxxB．2()4fxxC．3()logfxxD．3()()4xfx11.如图，直线l平面，垂足为O，已知边长为22的等边三角形ABC在空间做符合以下条件的自由运动：①Al，②C，则B，O两点间的最大距离为（）A.62B.262C.62了D.26212.一艘轮船从海面上从A点出发，以40nmile/h的速度沿着北偏东30°的方向航行，在A点正西方有一点B，AB=10nmile，该船1小时后到达C点并立刻转为南偏东60°的方向航行，3小时后到达D点，整个航行过程中存在不同的三点到B点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（）A．34B．2C．6D．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13.在等差数列na中，若12141524aaaa，则8a=___________..14.ABC中，角,,ABC所对边的长分别是,,abc，若223,sin23sinabbcCB，则A=___________.15.若2,3,4aaa是钝角三角形的三边长，则a的取值范围是___________.（高一）《数学》试卷第页（共8页），m，n为三条不同的直线，α、β为两个不同的平面，给出下列四个判断:①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β;②若m⊂β，n是l在β内的射影，n⊥m，则m⊥l；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的32倍；其中正确的为___________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。17（本题满分10分）已知0a，解关于x的不等式2(2)20axax。18.（本题满分12分）已知函数2()2cos23sincos1fxxxx．在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，满足f（A）=1（I）求角A的值；（Ⅱ）若sinB=3sinC，△ABC面积为．求a边的长。19.（本题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，5BC，F是CD的中点。（Ⅰ）求证AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．（高一）《数学》试卷第页（共8页）（本小题满分12分）已知数列na的前n项和为nS，首项11a，且对于任意nN，都有12nnnaS（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）设131nnnbaa，且数列的前n项之和为nT，求证：512nT21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，PA⊥底面ABCD，其中BA⊥AD，AD∥BC，AC与BD交于点O，M是AB边上的点，且13BMBA，已知PA=AD=4，AB=3，BC=2．（Ⅰ）求平面PAD与平面PMC所成锐二面角的正切值；（Ⅱ）已知N是PM上一点，且ON∥平面PCD，求PMPN的值．22.（本小题满分12分）已知等比数列na满足12342,4()aaaa，数列nb满足232lognnba。（Ⅰ）求数列na和nb的通项公式；（Ⅱ）令nnnacb，求数列nc的前n项和nT；（Ⅲ）若0，求对所有的正整数n都有2222nnkab成立的k的范围。（高一）《数学》试卷第页（共8页）学年度下学期高一期末测试数学试卷答案一、选择题ABCBCCDBDDCD二、填空题13.614.615.(1,1)16.①②三、解答题17解：原式可化为：(2)(1)0axx...............1分方程(2)(1)0axx的两根为：122,1xxa..............3分当a＜-2时，∵1＞，∴其解集为{x|x＜或x＞1}．当a=-2时，∵=1，且原不等式可化为2(1)0x，其解集为1x当-2＜a＜0时，∵＞1，∴其解集为{x|x＜1或x＞}..............9分综上所述：当a＜-2时，{x|x＜或x＞1}当a=-2时，1xx当-2＜a＜0时，{x|x＜1或x＞}..............10分18解：（I）f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）..............3分由f（A）=1，得到2sin（2A+）=1，即sin（2A+）=，∵A为三角形的内角，∴2A+=，即A=..............6分（Ⅱ）利用正弦定理化简sinB=3sinC得：b=3c，∵S△ABC=bcsinA=，即×3c2=，（高一）《数学》试卷第页（共8页）解得：c=1，∴b=3，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=9+1-3=7，则a=．.............12分19（Ⅰ）证明：取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．又AB∥DE，且AB=∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．（II）解：∵直角梯形ABED的面积为=3，C到平面ABDE的距离为，∴四棱锥C﹣ABDE的体积为=．即多面体ABCDE的体积为．20解：（Ⅰ）解法一：由nan+1=2Sn①得当n≥2时，（n﹣1）an=2Sn﹣1②，由①﹣②可得，nan+1﹣（n﹣1）an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，所以nan+1=（n+1）an，即当n≥2时，，所以，将上面各式两边分别相乘得，，即（n≥3），又a2=2S1=2a1=2，所以an=n（n≥3），此结果也满足a1，a2，（高一）《数学》试卷第页（共8页）=n对任意n∈N+都成立．…（7分）解法二：由nan+1=2Sn及an+1=Sn+1﹣Sn，得nSn+1=（n+2）Sn，即，∴当n≥2时，（此式也适合S1），∴对任意正整数n均有，∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（此式也适合a1），故an=n．…（7分）（Ⅱ）依题意可得：1311111()(1)(3)213nnnbaannnn11111111111(...)2243546213nTnnnn111111115()()2232322312nn.............12分21解：（1）连接CM并延长交DA的延长线于E，则PE是平面PMC与平面PAD所成二面角的棱，过A作AF垂直PE于F，连接MF．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥MA，又MA⊥AD，∴MA⊥平面PAD，∵AF⊥PE，∴MF⊥PE，∴∠MFA是平面PMC与平面PAD所成锐二面角的平面角…（3分）∵BC=2，AD=4，BC∥AD，AM=2MB∴AE=4，又PA=4，∴AF=∴tan∠MFA==，所以平面PMC与平面PAD所成锐二面角的正切为…（6分）（2）连接MO并延长交CD于G，连接PG∵ON∥平面PCD，∴ON∥PG在△BAD中∵，又∴∴MO∥AD…（9分）又在直角梯形ABCD中，MO=OG=，（高一）《数学》试卷第页（共8页）∵ON∥PG∴PN=MN，∴2PMPN…（12分）22解：（Ⅰ）设等比数列na的公比为q，由12342,4()aaaa可得23124(22),2qqqq，故数列na是以2为首项，12为公比的等比数列，12212()2;3log21,2nnnnabnannb是首项为1，公差为2的等差数列。22,21.nnabnn............4分（Ⅱ）221(21)211325...2(21)2nnnnnacnTnnb③2212112325...2(23)2(21)nnnTnn④③-④得21112(12...2)2(21)2nnTnn111112322(1)2(32)2122nnnnn13(23)22nnTn............8分（Ⅲ）证明由（Ⅰ）知2222(21)nnnabn22222(1)122(21)2(21)2(56)0nnnnnnnababnnn数列2nnab为单调递减数列；当1n时，2211nnabab。即2nnab最大值为1由2221k可得2121,2kk，而当0时，1222当且仅当22时取等号，故(,22)k............12分