垂径定理的讲义

1、思维导图：2、内容提要：圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。垂径定理平分弦所对的两条弧。）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径推论：平行的两弦之间所夹的两弧相等。相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）。应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造Rt△OAE）。3、垂径定理常见的五种基本图形4、垂径定理的两种变形图基本题型一、求半径例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（）（A）5（B）7（C）375（D）377练习1、已知：在⊙O中，弦cm12AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求圆的半径.三个元素：弧、弦和直径两种关系：垂直平分两类应用：计算证明CDABOEDOBACOBCADDOBCAEDCOABOBAC图1ODABC练习2、如图，在⊙O中，AB是弦，C为的中点，若32BC，O到AB的距离为1.求⊙O的半径.练习3、如图，一个圆弧形桥拱，其跨度AB为10米，拱高CD为1米.求桥拱的半径.二、求弦长例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图2所示，则这个小孔的直径ABmm．练习2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是cm.三、求弦心距例3.如图，已知在⊙O中，弦CDAB，且CDAB，垂足为H，ABOE于E，CDOF于F.（1）求证：四边形OEHF是正方形.（2）若3CH，9DH，求圆心O到弦AB和CD的距离.练习3.如图4，O的半径为5，弦8AB，OCAB于C，则OC的长等于．DCOAB图3BA8mm图2图4COAB四、求拱高例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB=16m，半径OA=10m，高度CD为_____m．五、求角度例5.如图6，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠AOC=60º，则∠B=．六、探究线段的最小值例6.如图7，⊙O的半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为cm．七、其他题型例7、如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.例8、在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.例9、如图所示，P为弦AB上一点，CP⊥OP交⊙O于点C，AB＝8，AP:PB＝1:3，求PC的长。ABDCEODCAOB图5CODAB图6COABP图7例10、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。例11、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=21BF.例12、已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于CDAEE，CDBF于F.求证：FDEC.例13、某机械传动装置在静止状态时，如图所示，连杆PB与点B运动所形成的圆O交于点A，测得PA＝4cm，AB＝5cm，⊙O半径为4.5cm，求点P到圆心O的距离。OABPCABDEOABDEFC