垂径定理第一课时和第二课时

§24.1.2垂直于弦的直径（第1课时）难点：垂径定理的题设和结论的区分，垂径定理的应用重点：垂径定理实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE活动二（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC,AD分别与BC、BD重合．⌒⌒⌒⌒[验证篇]⌒证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。因此AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD，即直径CD平分弦AB，并且平分AB及ACB⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。⌒⌒⌒⌒叠合法Theexplorationdiscovered·OABCDE垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧CD⊥AB∵CD是直径，∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE提示:垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。题设结论（1）过圆心（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧•垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。•即：如果CD过圆心，且垂直于AB，则AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC•注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可。OEDCBATheexplorationdiscovered判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！RammingfoundationEOABDCEABCDEOABDCOBAEEOABCEOCDAB练习在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧变式1：AC、BD有什么关系？OABCD变式2：AC＝BD依然成立吗？OABCDFE变式3：EA＝____,EC=_____。OABCD变式4：______AC=BD.OABCD变式5：______AC=BD.Rammingfoundation•如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。OBAPRammingfoundationO·ABE变形2、CE=8,DE=2,则AB=。DC变形1、AB=8,CD=10,则圆心O到AB的距离是。变形3、CD=10,AB=8,则DE=。382若CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E,∟到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？垂径定理的应用——构建直角三角形·OABCRd2a半弦AC=半径OA=R弦心距OC=d2a2222adR）（+=弓高为hh=R±d如图，两个圆都以点O为圆心，求证:AC=BD．O·AB·CD活动4§24.1.2垂直于弦的直径（第2课时）难点：垂径定理推论的题设和结论的区分知识点:1.圆的对称性2.垂径定理及其推论应用重点：垂径定理的推论§24.1.2垂直于弦的直径（第2课时）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。题设结论（1）过圆心（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒C.OAEBDC垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论（1）（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理记忆画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。题设结论①直线CD经过圆心O②直线CD垂直弦AB③直线CD平分弦AB④直线CD平分弧ACB⑤直线CD平分弧AB想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？OBCDAE①③②④⑤②③①④⑤①④②③⑤②④①③⑤①②⑤①②④④⑤①②③③④③⑤垂径定理及推论●OABCDM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。OBCDAE•填空：如图，在⊙O中•（1）若MN⊥AB，MN为直径；则•（），（），（）；•（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则•（），（），（）；•（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则•（），（），（）；•（4）若弧AM＝弧BM，MN为直径，则•（），（），（）。COBAMN我能行！一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦填空：1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_____________________________________________________，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O到AB的距离是___________cm，AB=_________cm.。OAEDCB。OAB第1题图第2题图AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD）24H选择：如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）AB⊥CD（2）AB平分CD（3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为（）A、3B、2C、1D、0。OCDBAA2、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽AB＝600毫米，求油的最大深度。OABSolvestheproblem2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：OEACODABABAC909090OEAEADODA===∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB1122AEACADAB==，∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.∴∵OE⊥ACOD⊥AB在△ABC中，∠C=900，AC=12，BC=16，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，求AD的长。CBDA变形4、若⊙O的直径为10，弦AB=8，E是AB上任意一动点,则OE的最小值是。O·AB3变形5、线段OE长的取值范围的是。3≤OM≤5变形5、半径为5的⊙O内有一点P,且OP=3,则过点P的最短的弦长是，最长的弦长是。O·AB810我发现了……我学会了……我的体会是……我的困难是……我……Summaryresonsideration“知二推三”(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(1)(3)时,应对另一条弦增加”不是直径”的限制.