第二章 弹性力学基础知识

第二章弹性力学基础知识教学目的：了解弹性力学问题的研究方法。教学重点：三大方程、两类平面问题的特点、应力边界条件。教学难点：两类平面问题的区分。假定物体整个体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何空隙。尽管物体都是由微小粒子组成的，不符合这一假定，但只要粒子的尺寸以及相邻粒子之间的距离都比物体的尺寸小得很多，则连续性假定就不会引起显著的误差。有了这一假定，物体内的一些物理量（如应力、应变等等）才能连续，因而才能用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。1.连续性假定2.完全弹性假定假定物体满足虎克定律；应力与应变间的比例常数称为弹性常数。弹性常数不随应力或应变的大小和符号而变。这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。返回2.1弹性力学基本假定假定整个物体是由同一材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。如果物体是由多种材料组成的，但是只要每一种材料的颗粒远远小于物体而且在物体内是均匀分布的，那么整个物体也就可以假定为均匀的。假定物体的弹性在各方向都是相同的。即物体的弹性常数不随方向而变化。对于非晶体材料，是完全符合这一假定的。而由木材、竹材等作成的构件，就不能当作各向同性体来研究。至于钢材构件，虽然其内部含有各向异性的晶体，但由于晶体非常微小，并且是随机排列的，所以从统计平均意义上讲，钢材构件的弹性基本上是各向同性的。3.均匀性假定4.各向同性假定返回上述假定，都是为了研究问题的方便，根据研究对象的性质、结合求解问题的范围，而作出的基本假定。这样便可以略去一些暂不考虑的因素，使得问题的求解成为可能。在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题。为了保证研究的问题限定在线性范围，还需要作出小位移和小变形的假定。这就是说，要假定物体受力以后，物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。所以，在建立变形体的平衡方程时，可以用物体变形以前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致引起显著的误差.对于工程实际中的问题，如果不能满足这一假定，一般需要采用其他理论进行分析求解（如大变形理论等）。返回表1-3弹性力学基本假定及其引用后的结果基本假定引用后的结果连续性假定应力、应变和位移可用坐标的连续函数表示。均匀性假定物体的弹性常数不随坐标位置而改变。各向同性假定物体的弹性常数不随方向而改变。物理假设（理想弹性体假设）完全弹性保证了应力与应变之间的一一对应的线性关系。几何假设微小变形基本方程化为线性方程①，可应用硬化原理②，叠加原理③2.2弹性力学中的几个基本概念基本概念：外力、应力、形变、位移1.外力：体力、面力(1)体力VQ——弹性体内单位体积上所受的外力。VVQFlim0——体力分布集度（矢量）xyzOijkXYZkjiFZYX符号：X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影单位：N/m3kN/m3如：重力，磁场力、惯性力等正负号：X、Y、Z的正负号由坐标方向确定。(2)面力——作用于物体表面单位面积上的外力。SQSSQFlim0——面力分布集度（矢量）xyzOijkXYZkjiFZYXXYZ——面力矢量在坐标轴上投影单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)正负号：的正负号由坐标方向确定。XYZ符号：2.应力ΔA内力(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑)AAQslim0(1)P点的内力面分布集度(2)应力矢量.----P点的应力的极限方向Q由外力引起的在P点的某一面上内力分布集度应力分量ΔQPn(法线)应力的法向分量——正应力应力的切向分量——剪应力单位：与面力相同MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布的),,(zyx),,(zyx(2)一点的应力状态通过一点P的各个面上应力状况的集合——称为一点的应力状态x面的应力：xzxyx,,y面的应力：yzyxy,,z面的应力：zyzxz,,用矩阵表示：zzyzxyzyyxxzxyx其中，只有6个量独立。xyyxxyzyyz剪应力互等定理应力符号的意义(P8)xzzx第1个下标x表示τ所在面的法线方向；第2个下标y表示τ的方向.应力正负号的规定(P8)正应力——拉为正，压为负。剪应力——坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx与材力中剪应力τ正负号规定的区别：xyxyxyxyxyyxxy规定使得单元体顺时的剪应力τ为正，反之为负。yxxy在用应力莫尔圆时必须此规定求解问题xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx3.形变形变——物体形状的改变xyzO（1）线段长度的改变（2）两线段间夹角的改变。PBCAzxy——用线（正）应变ε度量——用剪应变γ度量（剪应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）三个方向的线应变：三个平面内的剪应变：zyx,,zxyzxy,,(1)一点形变的度量应变的正负：线应变：伸长时为正，缩短时为负；剪应变：以直角变小时为正，变大时为负；(2)一点应变状态——代表一点P的邻域内线段与线段间夹角的改变xyzOPBCAzxyzzyzxyzyyxxzxyx其中xzzxyxxyzyyz应变无量纲；4.位移注：一点的位移——矢量S应变分量均为位置坐标的函数，即;),,,(zyxxx),,,(zyxxyxyxyzOSwuvPP位移分量：u——x方向的位移分量；v——y方向的位移分量；w——z方向的位移分量。量纲：m或mm表1-2直角坐标表示的基本量基本量符号量纲正负号规定正应力zyx,,[力][长度]-2应力剪应力zxyzxy,,[力][长度]-2正面上沿坐标轴正向为正负面上沿坐标轴负向为正正应变zyx,,无量纲线段伸长为正应变剪应变zxyzxy,,无量纲线段间直夹角变小为正位移wvu,,[长度]体力ZYX,,[力][长度]-3外力面力ZYX,,[力][长度]-2沿坐标轴正向为正前面的主要内容：外力、应力、形变、位移。基本假定：（1）连续性假定；（2）完全弹性假定；（3）均匀性假定；（4）各向同性假定；（5）小变形假定。（注意：应力正负号规定）（了解这些假定的作用）基本概念：弹性力学问题：已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：应力与体力、面力间的关系；（2）几何学关系：形变与位移间的关系；（3）物理学关系：形变与应力间的关系。问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：xzyzxyzyx,,,,,xzyzxyzyx,,,,,wvu,,需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件：——平衡微分方程——几何方程——物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；2.3弹性力学的基本方程与求解一平衡微分方程•从弹性体内任一点取出微元体，建立弹性体内一点的应力分量与体力分量之间的关系。PBAC取微小的六面体PABC（P点附近），dxPAdyPBZ方向取一个单位长度。设P点应力已知：yxxyyx,,体力：X，Y222)(!21dxxdxxxyxyxyxyxyxyxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyAC面：222)(!21dxxdxxxxxdyyyxyxdxxxxBC面：dxxxyxydyyyy注：这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。对于平面问题,分析平衡方程xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy由微元体PABC平衡，得0DM2121)(dxdydxdydxxxyxyxy02121)(dydxdydxdyyyxyxyx整理得：dyydxxyxyxxyxy2121yxxy当0,0dydx时，有——剪应力互等定理xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy0xF11)(dydydxxxxx11)(dxdxdyyyxyxyx01dyXdx两边同除以dxdy，并整理得：0Xyxyxx0yF1)(11)(dxdyxdxdxdyyxyxyyyy011dyYdxdyxy两边同除以dxdy，并整理得：0Yxyxyy平面问题的平衡微分方程：00YyxXyxyxyyxx（2-2）说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：yxxyyx,,——超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy三个力矩平衡方程只是再次证明剪应力的互等关系．由三个投影的平衡方程则不难得到空间问题的三个平衡微分方程:000xzxyxyxyyzzyzxzXxyzYxyzZxyz二几何方程建立：平面问题中应变与位移的关系——几何方程1.几何方程一点的形变线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；xyOP考察P点邻域内线段的变形：PAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvdyPBdxPA变形前变形后PABBPAuvdxxvvdxxuudyyuudyyvv注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvPA的正应变：dyvdyyvvyvyPB的正应变：dxudxxuuxuxP点的剪应变：P点两直角线段夹角的变化yuxvxyyudyudyyuutantanxvdxvdxxvvxyxyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv整理得：yuxvyvxuxyyx——几何方程（2-9）说明：（1）反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。（2）当u、v已知，则可完全确定；反之，已知，不能确定u、v。xyyx,,xyyx,,（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）xy——以两线段夹角减小为正，增大为负。•得到几何方程:xvyuyvxuxyyx,,注意：从几何方程（2-2）可以看到