2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ

12019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ1.(2019江苏,1)已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2x3},则A∩B=.答案{-1,2}解析A∩B={-1,2,3,6}∩{x|-2x3}={-1,2}.2.(2019江苏,2)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.答案5解析因为z=(1+2i)(3-i)=5+5i,所以z的实部是5.3.(2019江苏,3)在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1的焦距是.答案2√解析∵a2=7,b2=3,∴c2=a2+b2=7+3=10.∴c=√.∴2c=2√.4.(2019江苏,4)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是.答案0.1解析这组数据的平均数为×(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5)=5.1,方差为×[(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2]=0.1.5.(2019江苏,5)函数y=√--的定义域是.答案[-3,1]解析要使函数有意义,必须3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,所以-3≤x≤1.所以函数y=√--的定义域是[-3,1].6.(2019江苏,6)下图是一个算法的流程图,则输出的a的值是.答案92解析第一次循环:a=5,b=7,第二次循环:a=9,b=5,此时ab,循环结束,输出a的值为9.7.(2019江苏,7)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.答案解析(方法一)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.其中向上的点数之和小于10的基本事件共有30个,所以所求概率为.(方法二)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.记A表示“向上的点数之和小于10”,则表示“向上的点数之和不小于10”,的基本事件共有6个,所以P()=,P(A)=1-P()=.8.(2019江苏,8)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+=-3,S5=10,则a9的值是.答案20解析由S5=10得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3⇒d=3,a9=2+3×6=20.9.(2019江苏,9)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是.答案7解析由sin2x=cosx,可得cosx=0或sinx=,因为x∈[0,3π],所以x可取的值为,共7个.故交点个数为7.10.(2019江苏,10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆=1(ab0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.答案√解析由题意得B(-√),C(√),F(c,0),所以⃗⃗⃗⃗⃗(√-)⃗⃗⃗⃗⃗(-√-).因为∠BFC=90°,所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0.所以c2-(√)()=0.又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即,所以e=√.11.(2019江苏,11)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)={-|-|其中a∈R.若f(-)=f(),则f(5a)的值是.3答案-解析因为函数f(x)是周期为2的函数,所以f(-)=f(-)=-+a,f()=f()|-|.因为f(-)=f(),所以-+a=,解得a=,因此f(5a)=f(3)=f(1)=f(-1)=-1+=-.12.(2019江苏,12)已知实数x,y满足{----则x2+y2的取值范围是.答案[]解析画出约束条件对应的可行域(如图中阴影部分所示),x2+y2表示原点到可行域中的点的距离的平方,由图知原点到直线2x+y-2=0的距离的平方为x2+y2的最小值,为(√),原点到点(2,3)的距离的平方为x2+y2的最大值,为22+32=13.因此x2+y2的取值范围是[].13.(2019江苏,13)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-1,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值是.答案解析因为在△ABC中,D是BC的中点,所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗.又因为⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗⃗.所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4,4同理,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-1,因此⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗⃗.14.(2019江苏,14)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是.答案8解析sinA=sin(B+C)=2sinBsinC⇒tanB+tanC=2tanBtanC,因为tanA=-tan(B+C)=--,所以tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC.因为△ABC为锐角三角形,所以tanA0,tanBtanC0,所以tanA+2tanBtanC≥2√,当且仅当tanA=2tanBtanC时,等号成立,即tanAtanBtanC≥2√,解得tanAtanBtanC≥8,即最小值为8.15.(2019江苏,15)在△ABC中,AC=6,cosB=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos(-)的值.解(1)因为cosB=,0Bπ,所以sinB=√-√-().由正弦定理知,所以AB=√=5√.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cosA=-cos(B+C)=-cos()=-cosBcos+sinBsin,又cosB=,sinB=,故cosA=-√√=-√.因为0Aπ,所以sinA=√-√.因此,cos(-)=cosAcos+sinAsin=-√√√√-√.16.(2019江苏,16)5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.17.(2019江苏,17)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?解6(1)由PO1=2m知O1O=4PO1=8m.因为A1B1=AB=6m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=am,PO1=hm,则0h6,O1O=4h.连接O1B1.因为在Rt△PO1B1中,O1+P=P,所以(√)+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a2·4h+a2·h=a2h=(36h-h3),0h6,从而V'=(36-3h2)=26(12-h2).令V'=0,得h=2√或h=-2√(舍).当0h2√时,V'0,V是单调增函数;当2√h6时,V'0,V是单调减函数.故h=2√时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=2√m时,仓库的容积最大.18.(2019江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,求实数t的取值范围.7解圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0y07,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为--=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=-√√.因为BC=OA=√=2√,而MC2=d2+(),所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以{-①因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤√--≤5+5,解得2-2√≤t≤2+2√.因此,实数t的取值范围是[2-2√,2+2√].19.(2019江苏,19)已知函数f(x)=ax+bx(a0,b0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;8②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0a1,b1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.解(1)因为a=2,b=,所以f(x)=2x+2-x.①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)0,所以m≤对于x∈R恒成立.而=f(x)+≥2√=4,且=4,所以m≤4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g'(x)=axlna+bxlnb,又由0a1,b1知lna0,lnb0,所以g'(x)=0有唯一解x0=lo(-).令h(x)=g'(x),则h'(x)=(axlna+bxlnb)'=ax(lna)2+bx(lnb)2,从而对任意x∈R,h'(x)0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数.于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)g'(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)g'(x0)=0.因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞