圆系方程及其应用

圆系方程及其应用一、常见的圆系方程有如下几种：1、以(,)ab为圆心的同心圆系方程：222()()(0)xayb与圆22yx＋Dx＋Ey＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22yx＋Dx＋Ey＋＝０2、过直线Ax＋By＋Ｃ＝０与圆22yx＋Dx＋Ey＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22yx＋Dx＋Ey＋Ｆ＋（Ax＋By＋Ｃ）＝０（Ｒ）3、过两圆1C:22yx＋111FyExD＝0，2C:22yx＋222FyExD＝０交点的圆系方程为：22yx＋111FyExD＋（22yx＋222FyExD）＝0（≠-１，此圆系不含2C:22yx＋222FyExD＝０）特别地，当＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C，可等价转化为过圆1C和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0xyDxEyFDDxEEyFF二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：例1求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1．用一般式；2．用标准式。（注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。）解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心：1．两交点的中垂线与直线相交；2．过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交；3．两圆心连线与直线相交。解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。例１、求经过两圆22yx＋3x－y－2＝０和2233yx＋2x＋y＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程．解：方法3：由题可设所求圆的方程为：（22yx＋3x－y－2）＋（2233yx＋2x＋y＋１）＝０∵（0，0）在所求的圆上，∴有－2＋＝０．从而＝２故所求的圆的方程为：0)1233(2)23(2222yxyxyxyx即2277yx＋7x＋y＝０。2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：例2（1）：求过两圆225xy和22(1)(1)16xy的交点且面积最小的圆的方程。分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。解：圆225xy和22(1)(1)16xy的公共弦方程为22110xy过直线22110xy与圆225xy的交点的圆系方程为2225(2211)0xyxy，即2222(1125)0xyxy依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(,)必在公共弦所在直线22110xy上。即22110，则114代回圆系方程得所求圆方程22111179()()448xy例２（2）;求经过直线l：2x＋y＋4＝０与圆Ｃ：22yx＋2x－4y＋1＝０的交点且面积最小的圆的方程．解：设圆的方程为：22yx＋2x－4y＋1＋（2x＋y＋4）＝０即22yx＋yx)4()1(2＋（1＋4）＝０则54)58(45)41(4)4()1(4412222r，当＝58时，2r最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：2255yx＋26x－12y＋37＝０练习：1．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+7=0的两个交点且过原点的圆的方程。（常数项为零）2．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且圆心在x轴上的圆的方程。（圆心的纵坐标为零）3．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且面积最小的圆方程。（半径最小或圆心在直线上）4．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且与x轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。（圆心到x轴的距离等于半径）3、利用圆系方程求参数的值：例3：已知圆2260xyxym与直线230xy相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求实数m的值。分析：此题最易想到设出1122(,),(,)PxyQxy，由OPOQ得到12120xxyy，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于m的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系OPOQ，不难得出O在以PQ为直径的圆上。而P，Q刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线230xy与圆2260xyxym的交点的圆系方程为：226(23)0xyxymxy，即22(1)2(3)30xyxym………………….①依题意，O在以PQ为直径的圆上，则圆心1(,3)2显然在直线230xy上，则12(3)302，解之可得1又(0,0)O满足方程①，则30m，故3m。4、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：例4圆系22yx＋2kx＋（4k＋10）y＋10k＋20＝０（kＲ，k≠-１）中，任意两个圆的位置关系如何？解：圆系方程可化为：22yx＋10y＋20＋k（2x＋4y＋10）＝０∵与k无关∴020100104222yyxyx即5)5(05222yxyx易知圆心（０，-５）到直线x＋2y＋5＝０的距离恰等于圆22)5(yx＝５的半径．故直线x＋2y＋5＝０与圆22)5(yx＝５相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。