历年概率论与数理统计试题分章整理

历年概率论与数理统计试题分章整理第1章一、选择与填空11级1、设()0.5PA，()=0.2PAB，则()PBA35。1、设,,ABC为随机事件，则下列选项中一定正确的是D。(A)若()0PA，则A为不可能事件(B)若A与B相互独立，则A与B互不相容(C)若A与B互不相容，则()1()PAPB(D)若()0PAB，则()()()PBCAPBAPCBA10级1.若BA,为两个随机事件，则下列选项中正确的是C。(A)ABBA(B)ABBB(C)ABBA(D)ABBA1.某人向同一目标独立重复进行射击，每次射击命中的概率为)10(pp，则此人第4次射击恰好是第2次命中目标的概率为22)1(3pp。2.在[0,1]中随机取数x，在[1,2]中随机取数y，则事件32xy的概率为87。09级1.10件产品中有8件正品，2件次品，任选两件产品，则恰有一件为次品的概率为1645.2.在区间1,0中随机地取两个数，则事件{两数之和大于54}的概率为1725.1.设,AB为两个随机事件，若事件,AB的概率满足0()1,0()1PAPB，且有等式()()PABPAB=成立，则事件BA,C.(A)互斥(B)对立(C)相互独立(D)不独立08级1、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为B。(A)101(B)103(C)109(D)811、在区间[0,]L之间随机地投两点，则两点间距离小于2L的概率为34。07级1、10把钥匙中有3把能打开门锁，今任取两把钥匙，则打不开门锁的概率为715。2、在区间1,0之间随机地取两个数，则事件{两数的最大值大于23}发生的概率为59。二、计算与应用11级有两个盒子，第一个盒子装有2个红球1个黑球，第二个盒子装有2个红球2个黑球，现从这两个盒子中各任取一球放在一起，再从中任取一球。（1）求这个球是红球的概率；（2）重复上述过程10次，记X表示出现取出的球为红球的次数，求2()EX。解答：（1）令事件A{取得一个红球}，事件iB{从第i个盒子中取得一个红球}，1,2i，于是12221()343PBB，12()1PABB12221()343PBB，121()2PABB12121()346PBB，121()2PABB12121()346PBB，12()0PABB由全概率公式有12121212()()()()()PAPBBPABBPBBPABB12121212()()()()PBBPABBPBBPABB712……………………………………………………………………...4分（2）7~(10,)12XB735()10126EX75175()10121272DX22875()()[()]24EXDXEX……………………………………….4分10级1.已知BA,为两个随机事件，且21)(AP，53)(BP，54)(ABP，求：（1）)(BAP；（2）)(BAP；（3）])([BABP。解答：（1）142()()()255PABPAPBA………2分1327()()()()25510PABPAPBPAB………2分（2）121()()()2510PABPAPAB………2分（3）方法1：()61[()]1[()]11()77PBPBABPBABPAB………2分方法2：[()()]()1[()]()()7PBABBPABPBABPABPAB………2分09级1.设,AB为两个随机事件，且有()0.4,()0.4,()0.5PAPBPBA，计算：（1）()PA；（2）()PAB；（3）()PBAB.解答：（1）()1()0.6PAPA；……1分（2）()()1()10.5()PABPBAPBAPA，故()0.3PAB；……2分（3）(())(())1(())1()PBABPBABPBABPAB()31()()()7PBPAPBPAB.……3分08级1、设BA,为两个事件，3.0)(AP，4.0)(BP，5.0)(BAP，求：（1）)(AP；（2）)(ABP；（3）()PBAB.解答：()1()0.7PAPA()()()0.70.50.2PABPAPAB(())()(())()()()()PBABPABPBABPABPAPBPAB0.210.70.60.5407级2、设CBA,,为三个事件，且31CPBPAP，0ABP，61ACP，18PBC，求：（1）()PCA；（2）()PCB；（3）CBA,,至少有一个发生的概率。解答：（1）()1()()2PACPCAPA；（2）()()()5()()1()16PCBPCPBCPCBPBPB；（3）P{CBA,,至少有一个发生}()PABC()()()()()()()PAPBPCPABPACPBCPABC1111117003336824。第2章一、选择与填空11级2、设随机变量X服从正态分布2(,)N，()Fx为其分布函数，则对任意实数a，有()()FaFa1。10级3.设随机变量X与Y相互独立且服从同一分布：1{}{}3kPXkPYk(0,1)k，则概率{}PXY的值为95。08级2、设相互独立的两个随机变量X，Y的分布函数分别为)(xFX，)(yFY，则),max(YXZ的分布函数是C。(A))}(),(max{)(zFzFzFYXZ(B)})(,)(max{)(zFzFzFYXZ(C))()()(zFzFzFYXZ(D))()()(yFxFzFYXZ3、设随机变量~(1,4)XN，~(0,1)YN，且X与Y相互独立，则A。(A)2~(1,8)XYN(B)2~(1,6)XYN(C)2~(1,2)XYN(D)2~(1,1)XYN07级1、已知随机变量X服从参数2n，13p的二项分布，()Fx为X的分布函数，则(1.5)FD。(A)19(B)49(C)59(D)89二、计算与应用11级1、已知随机变量X的概率密度函数为21,1()10,1.xfxxx，求：（1）X的分布函数)(xF；（2）概率12Px。解答：（1）(){}()xFxPXxftdt当1x时，()()00xxFxftdtdt………….……………………….1分当11x时，2111()()(arcsin)21xxFxftdtdtxt………...2分当1x时，1211()()11xFxftdtdtt………………………….1分综上，0,11()(arcsin),1121,1xFxxxx（2）11111()()22222PXPXFF11111[arcsin()][arcsin()]22223………………………………….3分2、设连续型随机变量X的概率密度函数为2,01()0,xxfx，其他.求随机变量3YX的概率密度函数。解法1：由于3YX所以3()xhyy，…...………………………….1分21333122,01()(())()330,YXyyyyfyfhyhy其他…………………..6分解法2：3(){}{}YFyPYyPXy当0y时：()0YFy………………………………………………………1分当01y时：3323330(){}{}()2yyYXFyPXyPXyfxdxxdxy….5分当1y时：()1YFy…………………………….……………………………1分故()()YYfyFy132y,0130,y其他10级2.已知连续型随机变量X的概率密度函数()()xfxCex，求：（1）常数C；（2）X的分布函数()XFx；（3）概率{13}PX。解答：（1）()1fxdx………1分1xCedx12C………1分（2）当0x时，(){}FxPXx1122xxxedxe当0x时，(){}FxPXx001111222xxxxedxedxe故X的分布函数1,02()11,02xxexFxex………4分（3）{13}(3)(1)PXFF)(2131ee………2分3.设随机变量X在区间[0,2]上服从均匀分布，求随机变量2XY的概率密度函数)(yfY。答：1,02()20,Xxfx其他………2分方法1：2yx的反函数为xy，故()()()(),0()0,0XXYfyyfyyyfyy………2分111,042240,yyy其他………4分方法2：2(){}{}YFyPYyPXy………2分当0y时：()0YFy当04y时：2011(){}{}()22yyYXyFyPXyPyXyfxdxdxy………2分当4y时：()1YFy故()()YYfyFy1,0440,yy其他………2分09级2.设有三个盒子，第一个盒装有4个红球，1个黑球；第二个盒装有3个红球，2个黑球；第三个盒装有2个红球，3个黑球.若任取一盒，从中任取3个球。（1）已知取出的3个球中有2个红球，计算此3个球是取自第一箱的概率；（2）以X表示所取到的红球数，求X的分布律；（3）若XY2sin，求Y的分布律.解答：（1）设iB“取第i箱”(1,2,3)i，A“取出的3个球中有2个红球”，则212121332234133315551111()()()3332iiiCCCCCCPAPBPABCCC1111()()()2()()()5PBPABPBAPBAPAPA.……2分（2）3335111100033330CPXC，12123223335511131033310CCCCPXCC，12()2PXPA，1310126PXPXPXPX，因此，X的分布律为X0123P1303101216……2分（3）1136PYPX，31110PYPX，800215PYPXPX，因此，Y的分布律为Y101P16815310……2分3.设连续型随机变量X的分布函数为20,0,(),01,1,1.XxFxabxxx（1）求系数,ab的值及X的概率密度函数()Xfx；（2）若随机变量2YX，求Y的概率密度函数()Yfy.解答：（1）由于连续型随机变量的分布函数)(xF是连续函数，因此：0lim()(0)xFxF，1lim()(1)xFxF，即得0,1ab，2,01,()()0,XXxxfxFx其他.……3分（2）（方法1）对任意实数y，随机变量Y的分布函数为：2(){}{}YFyPYyPXy当0y时：()0YFy，当0y时：(){}YFyPyXy()()XXFyFy，Y101P16815310当01y时：2()0YFyyy，当1y时：()101YFy于是，1,01,()()0,YYyfyFy其他..……3分(方法2)()()()(