不等式练习题及答案解析

基本不等式练习题一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是(C)A．x＋12xB．x2－1＋1x2－1C．2x＋2－xD．x(1－x)2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是(D)A．32－3B．－3C．62D．62－3解析：y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是(A)A．200B．100C．50D．20解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程：①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2；②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2lgx·lgy；③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a·a＝4；④∵x，y∈R，，xy＜0，∴xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]≤－2－xy－yx＝－2.其中正确的推导过程为(D)A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，∴4a＋a≥24a·a＝4是错误的；④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是(C)A．2B．22C．4D．5解析：选C.∵1a＋1b＋2ab≥2ab＋2ab≥22×2＝4.当且仅当a＝bab＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有(C)A．最大值64B．最大值164C．最小值64D．最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，∴xy＝8x＋2y≥28x·2y＝8xy，当且仅当8x＝2y时等号成立．∴xy≥64.7．若xy＞0，则对xy＋yx说法正确的是(B)A．有最大值－2B．有最小值2C．无最大值和最小值D．无法确定8．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是(A)A．400B．100C．40D．209．在下列各函数中，最小值等于2的函数是(D)A．y＝x＋1xB．y＝cosx＋1cosx0xπ2C．y＝x2＋3x2＋2D．24xxeey[解析]x0时，y＝x＋1x≤－2，故A错；∵0xπ2，∴0cosx1，∴y＝cosx＋1cosx≥2中等号不成立，故B错；∵x2＋2≥2，∴y＝x2＋2＋1x2＋2≥2中等号也取不到，故C错∴选D.10.已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得nmaa＝4a1，则1m＋4n的最小值为(A)A.32B.53C.256D．不存在[解析]由已知an0，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q，则a6q＝a6＋2a6q，∴q2－q－2＝0，∵q0，∴q＝2，∵aman＝4a1，∴a12·qm＋n－2＝16a12，∴m＋n－2＝4，∴m＋n＝6，∴1m＋4n＝16(m＋n)1m＋4n＝165＋nm＋4mn≥165＋2nm·4mn＝32，等号在nm＝4mn，即n＝2m＝4时成立．11．“a＝14”是“对任意的正数x，均有x＋ax≥1”的(A)A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件[解析]∵a＝14，x0时，x＋ax≥2x·ax＝1，等号在x＝12时成立，又a＝4时，x＋ax＝x＋4x≥2x·4x＝4也满足x＋ax≥1，故选A.12．设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件[解析]a，b中有一个不是正数时，若a＋b＝1，显然有4ab≤1成立，a，b都是正数时，由1＝a＋b≥2ab得4ab≤1成立，故a＋b＝1⇒4ab≤1，但当4ab≤1成立时，未必有a＋b＝1，如a＝－5，b＝1满足4ab≤1，但－5＋1≠1，故选A.13．若a0，b0，a，b的等差中项是12，且α＝a＋1a，β＝b＋1b，则α＋β的最小值为(D)A．2B．3C．4D．5[解析]∵12为a、b的等差中项，∴a＋b＝12×2＝1.a＋1a＋b＋1b⇒1＋1a＋1b＝1＋a＋bab＝1＋1ab，∵ab≤a＋b2，∴ab≤＋4＝14.∴原式≥1＋4.∴α＋β的最小值为5.故选D.二、填空题1．函数y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值为____1____．．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最___大_____值，其值为___116_____．解析：1＝x＋4y≥2x·4y＝4xy，∴xy≤116.3．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为___3_____．解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．答案：34．已知x≥2，则当x＝_2___时，x＋4x有最小值__4__．5．已知t0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为__-2_____．[解析]y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4因为t0，y＝t＋1t－4≥2t·1t－4＝－2.,等号在t＝1t，即t＝1时成立．6．已知正数a，b，c满足：a＋2b＋c＝1则1a＋1b＋1c的最小值为____6＋42[答案][解析]1a＋1b＋1c＝a＋2b＋ca＋a＋2b＋cb＋a＋2b＋cc＝2ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋2bc＋4≥22＋2＋22＋4＝6＋42，等号在2ba＝ab，ca＝ac，cb＝2bc同时成立时成立,即a＝c＝2b＝1－22时等号成立．7.已知x0，y0，lg2x＋lg8y＝lg2，则xy的最大值是____112____．[解析]∵lg2x＋lg8y＝lg2，∴2x·8y＝2，即2x＋3y＝2，∴x＋3y＝1，∴xy＝13x·(3y)≤13·x＋3y22＝112，等号在x＝3y，即x＝12，y＝16时成立．三、解答题1．已知f(x)＝12x＋4x.(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，∴12x，4x＞0.∴12x＋4x≥212x·4x＝83.当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，∴当x＞0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x＜0，∴－x＞0.则－f(x)＝12－x＋(－4x)≥212－x·－4x＝83，当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．新课标第一网∴当x＜0时，f(x)的最大值为－83.2．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5≥2x＋1·4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．∴x＝1时，函数的最小值是9.(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.∴(x－1)＋9x－1＋2≥2x－1·9x－1＋2＝8.当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，∴y有最小值8.3．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)·(1b－1)·(1c－1)≥8.证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca≥2bca，同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.当且仅当a＝b＝c时取等号．4．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．总造价f(x)＝400×(2x＋2×200x)＋100×200x＋60×200＝800×(x＋225x)＋12000≥1600x·225x＋12000＝36000(元)当且仅当x＝225x(x＞0)，即x＝15时等号成立．