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专题四规律探索题考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考题·体验感悟命题预测方法指导规律探索型问题也是归纳猜想型问题,是指根据已知条件或题干所提供的若干特例,通过观察、类比、归纳,发现问题中的数学对象所具有的规律性的一类问题.规律探索型问题体现了“由特殊到一般”的数学思想方法,规律探索型问题大致可分为数式类规律探索问题、图形类规律探索问题和直角坐标系下的点坐标变化规律类,是中考的热点题型,考查同学们创新能力的重要方式.考查的题型既有选择题、填空题,也有解答题,安徽中考连续6年都有考查,预计这类题仍然是2018年中考的热点.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考题·体验感悟命题预测方法指导解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较,从中发现其变化的规律,并猜想出一般性的结论,然后再给出合理的证明或加以运用.1.解决这类问题的关键是发现和把握规律.题目中呈现规律一般有三种主要途径:(1)式与数的特征观察.(2)图形的结构观察.(3)通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一般情况.2.规律探究的基本原则:(1)遵循类推原则,项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,积找积的规律.(2)遵循有序原则,从特殊开始,从简单开始,先找3个,发现规律,再验证运用规律.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二考查类型年份、题号考查点1.数式的规律2017,192015,132014,16根据所给一列数,或式子所反映的特征进行归纳猜想,得出规律,并对规律进行验证,利用规律解题2.图形的规律2016,182012,17分析图形特征和图形变换规律进行合理的猜想假设,得出规律,并对规律进行验证,利用规律解题3.直角坐标系下点的坐标的变化规律2013,18借助正六边形考查了坐标的变化规律考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二类型一数式的变化规律例1(2017·安徽,19)【阅读理解】我们知道,1+2+3+…+n=,那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢?n(n+1)2图1在图1所示的三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22;……;第n行n个圆圈中数的和为n+n+…+nn个n,即n2.这样,该三角形数阵中共有n(n+1)2个圆圈,所有圆圈中的数的和为12+22+32+…+n2.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二【规律探究】将三角形数阵型经过两次旋转可得如图2所示的三角形数阵型,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第1个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为.由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为:3(12+22+32+…+n2)=.因此12+22+32+…+n2=.图2【解决问题】根据以上发现,计算12+22+32+…+201721+2+3+…+2017的结果.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二分析:【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可,所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数,据此可得,每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的,从而得出答案;【解决问题】运用以上结论,将原式变形为1316×2017×(2017+1)×(2×2017+1)12×2017×(2017+1),化简计算即可得.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二解:【规律探究】由题意知,每个位置上三个圆圈中数的和均为n-1+2+n=2n+1,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为:3(12+22+32+…+n2)=(2n+1)·(1+2+3+…+n)=(2n+1)·n(n+1)2,因此,12+22+32+…+n2=n(2n+1)(n+1)6;故答案为:2n+1,n(n+1)(2n+1)2,n(n+1)(2n+1)6.【解决问题】原式=16×2017×(2017+1)×(2×2017+1)12×2017×(2017+1)=13×(2017×2+1)=1345.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二例2(2014·安徽,16)观察下列关于自然数的等式:32-4×12=5;①52-4×22=9;②72-4×32=13;③…根据上述规律解决下列问题:(1)完成第四个等式:92-4×2=;(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.分析:通过观察变化的数字与序号的关系,得出第四个等式:92-4×42=17;通过归纳总结可得出第n个等式为(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1并证明.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二解:(1)417(2)猜想:(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.证明如下:左边=(2n+1)2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1,右边=2(2n+1)-1=4n+2-1=4n+1.左边=右边,故(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二类型二图形的变化规律例3(2016·安徽,18)(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二(2)观察下图,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,用含n的代数式填空:1+3+5+…+(2n-1)+()+(2n-1)+…+5+3+1=.分析:(1)根据1+3+5+7=16可得出16=42;设第n幅图中球的个数为an,列出部分an的值,根据数据的变化找出变化规律“an-1=1+3+5+…+(2n-1)=n2”,依此规律即可解决问题;(2)观察(1)可将(2)图中的黑球分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,再结合(1)的规律即可得出结论.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二解析:(1)1+3+5+7=16=42,设第n幅图中球的个数为an,观察,发现规律:a1=1+3=22,a2=1+3+5=32,a3=1+3+5+7=42,…,故an-1=1+3+5+…+(2n-1)=n2.(2)观察图形发现:图中黑球可分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,即1+3+5+…+(2n-1)+[2(n+1)-1]+(2n-1)+…+5+3+1=1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+…+5+3+1=an-1+(2n+1)+an-1=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.答案:(1)4n2(2)2n+12n2+2n+1考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二例4(2012·安徽,17)在由m×n(m×n1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f,(1)当m,n互质(m,n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表:考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二mnm+nf123213432354247357猜想:当m,n互质时,在m×n的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m,n的关系式是(不需要证明);(2)当m,n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立.分析:(1)通过题中所给网格图形,先计算出2×5,3×4,对角线所穿过的小正方形个数f,再对照表中数值归纳f与m,n的关系式.(2)根据题意,画出当m,n不互质时,结论不成立的反例即可.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二解:(1)如表:f=m+n-1(2)当m,n不互质时,上述结论不成立,如图.mnm+nf123213432354347625762×4考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析123456781.(2017·重庆)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按此规律排列下去,第⑨个图形中菱形的个数为(C)A.73B.81C.91D.109考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析12345678解析:整个图形可以看作是由两部分组成:上半部分是菱形,下半部分是由菱形组成的一条线段,各自的变化规律我们可以用一个表格来呈现:第①个第②个第③个第④个…第个上半部分1=124=229=3216=42…n2下半部分2=1+13=2+14=3+15=4+1…n+1由此,不难推断出这组图形中菱形个数的变化规律为:n2+n+1,当n=9时,有n2+n+1=92+9+1=91,∴第⑨个图形中菱形的个数为91.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析123456782.(2017·浙江温州)我们把1,1,2,3,5,8,13,21…这组数称为斐波那契数列.为了进一步研究,依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2,P2P3,P3P4,…得到斐波那契螺旋线,然后顺次连接P1P2,P2P3,P3P4…得到螺旋折线(如图),已知点P1(0,1),P2(-1,0),P3(0,-1),则该折线上点P9的坐标为(B)A.(-6,24)B.(-6,25)C.(-5,24)D.(-5,25)解析:找准图形规律,依次可得P6(-6,-1),P7(2,-9),P8(15,4),P9(-6,25).考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析123456783.(2017·湖北武汉)按照一定规律排列的n个数:-2,4,-8,16,-32,64,…,若最后三个数的和为768,则n为(B)A.9B.10C.11D.12解析:根据数的规律,第n个数为(-2)n,故有最后三个数的和为(-2)n-2+(-2)n-1+(-2)n=(-2)n-2×(1-2+4)=(-2)n-2×3=768,∴(-2)n-2=256=(-2)8.∴n=10.故选B.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析(1)请写出第n个等式:an=1n+n+1=n+1−n;(2)a1+a2+a3+…+an=n+1-1.123456784.(2016·湖北黄石)观察下列等式:第1个等式:a1=11+2=2-1,第2个等式:a2=12+3=3−2,第3个等式:a3=13+2=2-3,第4个等式:a4=12+5=5-2,…按上述规律,回答以下问题:考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析12345678解析:(1)观察上面四个式子可得an=1𝑛+𝑛+1=𝑛+1−𝑛;(2)根据所得的规律可得a1+a2+a3+…+an=2-1+3−2+2-3+5-2+…+𝑛+1−𝑛=𝑛+1-1.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析123456785.(2017·湖南衡阳)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图的方式放置,点A1,A2,A3,…和点C1,C2,C3,…分别在直线y=x+1和x轴上,则点B2018的纵坐标是22017.解析:由图知,点B1的坐标为(1,1);点A2的坐标为(1,2);点B2的坐标为(3,2);点A3的坐标为(3,4);点B3的坐标为(7,4);A4的坐标为(7,8),…寻找规律知B2018的纵坐标为22017,故填22017.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析123456786.(2017·山东淄博)设△ABC的面积为1.如图1,分别将AC,BC边2等分,D1,E1是其分点,连接AE1,BD1交于点F1,得到四边形CD1F1E1,其面积S1=;如图2,分别将AC,BC边3等分,D1,D2,E1,E2是其分点,连接AE2,BD2交于点F2,得到四边形CD2F2E2,其面积S2=;如图3,分别将AC,BC边4等分,D1,D2,D3,E1,E2,E3是其分点,连接AE3,BD3交于点F3,得到四边形CD3F3E3,其面积S3=;……按照这个规律进行下去,若