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专题九几何最值问题解题策略最值问题是初中数学的重要内容,无论是代数问题还是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题.安徽中考在2015,2016年连续2年都出现几何问题的最值问题,考生得分率普遍不高,在复习时应引起关注,预计2017年安徽中考会出现几何最值问题的选择题或解答题.1.在求几何图形中的周长或线段长度最值时,解决此类问题的方法一般是先将要求线段(要求的量)用未知数x表示出来,建立函数模型(一般所表示的式子为一次函数解析式或二次函数解析式),常用勾股定理或三角形相似求得函数关系式,再用函数的增减性或最值来求解即可.2.利用对称的性质求两条线段之和最小值的问题,解决此类问题的方法为:如图,要求直线l上一动点P到点A,B距离之和的最小值,先作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,则A'B与直线l的交点即为P点,根据对称性可知此时A'B的长即为PA+PB的最小值,求出A'B的值即可.题型2题型1题型3题型1三角形中最值问题典例1(2016·江苏淮安)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是.题型2题型1题型3【解析】本题考查与三角形有关的折叠的计算.由于FP的长度是不变的,于是P点在以点F为圆心,以2为半径的圆上运动,由此可确定点P在什么位置时到边AB的距离最小.如图,当点E在BC上运动时,PF的长固定不变,即PF=CF=2.∴点P在以点F为圆心,以2为半径的圆上运动.过点F作FH⊥AB交☉F于P,垂足为H,此时PH最短,此时△AFH∽△ABC,∴.【答案】题型2题型1题型3题型2四边形中最值问题典例2(2016·江苏常州)如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是.题型2题型1题型3【解析】本题考查等边三角形的性质、不等式、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识,根据题意建立不等式、转化不等式是解答此题的关键.△APB中,因为AB=2,∠APB=90°,所以AP2+PB2=AB2=4,因为(AP-PB)2≥0,所以AP2+PB2≥2AP·PB,所以2AP·PB≤4,AP·PB≤2,因为△ABD,△APE和△BPC都是等边三角形,所以AP=PE=AE,PB=PC=BC,AB=AD=BD,所以PE·PC≤2,又∠EAP=∠DAB=60°,所以∠EAD=∠PAB,又AP=AE,AD=AB,所以△EAD≌△PAB,所以ED=PB,又PB=PC,所以ED=PC,同理EP=DC,所以四边形PCDE是平行四边形,所以EP∥DC,因为∠EPA=∠CPB=60°,∠APB=90°,所以∠EPC=360°-∠EPA-∠CPB-∠APB=150°,因为EP∥DC,∠DCP+∠EPC=180°,所以∠DCP=180°-∠EPC=30°,过点P作PQ⊥DC于点Q,因为∠PQC=90°,所以PQ==1,所以四边形PCDE面积的最大值是1.【答案】1题型2题型1题型3【方法归纳】本题借助不等式“a2+b2≥2ab”通过代换转化来求平行四边形面积的最值,体现了转化思想和整体思想的运用.题型2题型1题型3题型3圆中最值问题典例3在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【解析】本题考查解直角三角形与勾股定理等知识.(1)连接OQ,在Rt△OPB中求出OP的长,在Rt△OPQ中求出PQ的长即可;(2)由勾股定理可知PQ2=OQ2-OP2,OQ的长为定值,则OP最小时,PQ最大,此时OP⊥BC,即可求解.题型2题型1题型3【答案】(1)连接OQ,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△BOP中,OP=OB·tan30°=,在Rt△OPQ中,PQ=.题型2题型1题型3(2)解法1:过点O作OG⊥BC于点G,则OG=,设PG=x,则OP2=x2+,连接OQ,则PQ2=OQ2-OP2=32--x2,当x=0时,PQ最大=.解法2:连接OQ,设OP=x,则PQ2=OQ2-OP2=32-x2=9-x2,当x=.题型2题型1题型3【归纳总结】此题综合性强,解题方法很多,考查范围较广,与初中数学很多内容有关,如勾股定理、圆周角定理及推论、垂径定理、相似、三角函数、二次函数、垂线段的性质、二次根式的计算与化简等.考查了多种数学思想,如建模思想、化归思想等.此题难度中等,有一定的灵活性,考生不易拿满分.21345671.如图,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为(C)【解析】设BE与AC交于点P',连接BD,P'D.∵点B与D关于AC对称,∴P'D=P'B,∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE,当点P位于点P'处时,PD+PE最小.∵正方形ABCD的面积为16,∴AB=4,又∵△ABE是等边三角形,∴BE=AB=4,∴PD+PE的最小值为4.A.2B.3C.4D.421345672.如图,直线l与半径为4的☉O相切于点A,P是☉O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l,垂足为B,连接PA.设PA=x,PB=y,则(x-y)的最大值是2.【解析】如图,作直径AC,连接CP,则∠CPA=90°,∵AB是切线,∴CA⊥AB,∵PB⊥l,∴AC∥PB,∴∠CAP=∠APB,∴△APC∽△PBA,21345673.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动,过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为1.【解析】本题考查抛物线性质和矩形性质.由抛物线y=x2-2x+2=(x-1)2+1得抛物线的顶点坐标为(1,1),∵四边形ABCD是矩形,∴BD=AC,∴当BD最小时AC最小.∵点A在抛物线y=x2-2x+2上,∴当点A是抛物线的最低点,即点A的坐标为(1,1)时,AC最小为1,∴BD的最小值为1.21345674.(2016·江苏宿迁)如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(0,4),直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点A,B,点M是直线AB上的一个动点,则PM长的最小值为.【解析】本题考查直角坐标系中垂线段最短的问题.当PM⊥AB时,PM最小,由此可得,∠BPM+∠PBA=∠PBA+∠OAB=90°,∴∠BPM=∠OAB.对于直线y=21345675.(2016·武汉)如图,∠AOB=30°,点M,N分别在边OA,OB上,且OM=1,ON=3,点P,Q分别在边OB,OA上,则MP+PQ+QN的最小值是.【解析】如图,作点M关于ON的对称点M‘,点N关于OA的对称点N’,连接M‘N’分别交ON,OA于点P,Q,此时MP+PQ+QN的值最小.由对称性质知,M‘P=MP,N’Q=NQ,∴MP+PQ+QN=M‘N’.连接ON‘,OM’,则∠M‘OP=∠MOP=∠N’OQ=30°,∴∠N‘OM’=90°,又∵ON‘=ON=3,OM’=OM=1,∴M'N'=.21345676.如图,以点P(2,0)为圆心,为半径作圆,点M(a,b)是☉P上的一点,则的最大值是.【解析】当.21345677.在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分别是AB,AC的中点.若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得到等腰Rt△AD1E1,设旋转角为α(0α≤180°),记直线BD1与CE1的交点为P.(1)如图1,当α=90°时,线段BD1的长等于,线段CE1的长等于.(直接填写结果)(2)如图2,当α=135°时,求证:BD1=CE1,且BD1⊥CE1.(3)①设BC的中点为M,则线段PM的长为;②点P到AB所在直线的距离的最大值为.2134567解:(1)∵∠A=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点,∴AE=AD=2,∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得到等腰Rt△AD1E1,设旋转角为α(0α≤180°),∴当α=90°时,AE1=2,∠E1AE=90°,∴BD1=.2134567(2)当α=135°时,∵Rt△AD1E1是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到,∴AD1=AE1,∠D1AB=∠E1AC=135°,在△D1AB和△E1AC中,∴△D1AB≌△E1AC(SAS),∴BD1=CE1,且∠D1BA=∠E1CA,记直线BD1与AC交于点F,∴∠BFA=∠CFP,∴∠CPF=∠FAB=90°,∴BD1⊥CE1.∵2134567(3)①如图①,∵∠CPB=∠CAB=90°,BC的中点为M,∴PM=BC,∴PM=.2134567②如图②,作PG⊥AB,交AB所在直线于点G,∵D1,E1在以A为圆心,AD为半径的圆上,当BD1所在直线与☉A相切时,直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大,此时四边形AD1PE1是正方形,PD1=2,则BD1=,故∠ABP=30°,则PB=2+2,故点P到AB所在直线的距离的最大值为:PG=1+.