高中数学“函数的连续性”教案

第1页共6页课题：函数的连续性教学目的：1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续.2.要会说明函数在一点不连续的理由.3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义.4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理奎屯王新敞新疆教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件．教学难点：借助几何图象得出最大值最小值定理．授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：1课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆内容分析：点连续概念，函数在开区间和闭区间连续的定义，函数在闭区间上有最大、最小值的定义，最大最小值定理奎屯王新敞新疆函数的连续性是建立在极限概念基础上的，又为以后微积分的学习做铺垫，它是承上启下的.函数在一点连续必须满足三个条件，这是要学生重点掌握的内容.函数在区间连续的定义也是建立在一点连续的基础上的.借助函数的几何图象得到闭区间上连续函数的一个性质，即最大值最小值定理.函数在一点连续必须满足三个条件，缺一不可.如何得出这三个条件，可以借助函数图象，让学生观察、总结出来.同样借助几何图象得出最大值最小值定理.在学生已掌握极限概念的基础上，并通过分析函数图象，让学生主动地总结出函数在一点连续的三个条件及概念.以及通过区间是由点组成的，进行概念的顺应，得出函数在区间上连续的概念.让学生主动地学习.教学过程：一、复习引入：1.000lim()lim()lim()xxxxxxfxafxfxa其中0lim()xxfxa表示当x从左侧趋近于0x时的左极限，0lim()xxfxa表示当x从右侧趋近于0x时的右极限奎屯王新敞新疆2.我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是第2页共6页8毛钱邮票，21克~30克是1元，31克~40克是1.2元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题奎屯王新敞新疆二、讲解新课：1.观察图像如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x=x0处连续，就是说图象在点x=x0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x=x0处的连续情况，以及极限情况.分析图，第一，看函数在x0是否连续.第二，在x0是否有极限，若有与f(x0)的值关系如何：图(1)，函数在x0连续，在x0处有极限，并且极限就等于f(x0).图(2)，函数在x0不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)，因为函数在x0处没有定义.图(3)，函数在x0不连续，在x0处没有极限.图(4)，函数在x0处不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)的值.函数在点x=x0处要有定义，是根据图(2)得到的，根据图(3)，函数在x=x0处要有极限，根据图(4)，函数在x=x0处的极限要等于函数在x=x0处的函数值即f(x0).函数在一点连续必须满足刚才的三个条件..函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；(2)0limxxf(x)存在；(3)0limxxf(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义．2.函数在一点连续的定义:如果函数f(x)在点x=x0处有定义，0limxxf(x)存在，且0limxxf(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.由第三个条件，0limxxf(x)=f(x0)就可以知道0limxxf(x)是存在的，所以我们下定义时可以再简洁一点.函数f(x)在点x0处连续的定义.第3页共6页如果函数y=f(x)在点x=x0处及其附近有定义，并且0limxxf(x)=f(x0)，就说函数f(x)在点x0处连续.那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间(a，b)内连续的定义．区间是由点构成的，只要函数f(x)在开区间内的每一个点都连续，那么它在开区间内也就连续了.3.函数f(x)在(a，b)内连续的定义：如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数.f(x)在开区间(a，b)内的每一点以及在a、b两点都连续，现在函数f(x)的定义域是［a，b］，若在a点连续，则f(x)在a点的极限存在并且等于f(a)，即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a)，f(x)在(a，b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b).4.函数f(x)在［a，b］上连续的定义：如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有axlimf(x)=f(a)，在右端点x=b处有bxlimf(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数.如果函数f(x)在闭区间［a，b］上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续曲线.我们来看这张图，它是连续的，在a、b两点的值都是取到，所以它一定有一个最高点和一个最低点，假设在x1这点最高；那么它的函数值最大，就是说［a，b］区间上的各个点的值都不大于x1处的值，用数学语言表示就是f(x1)≥f(x)，x∈［a，b］，同理，设x2是最低点，f(x2)≤f(x)，x∈［a，b］.5.最大值f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在点x1处有最大值f(x1).6.最小值f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在点x2处有最小值f(x2).由图我们可以知道，函数f(x)在［a，b］上连续，则一定有最大最小值，这第4页共6页是闭区间上连续函数的一个性质.最大，最小值可以在(a，b)内的点取到，也可以在a，b两个端点上取到.7.最大值最小值定理如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值奎屯王新敞新疆我们现在已经学习了函数在一点连续的定义，和需要满足的三个条件，下面看两个例子，看在给定点处是否连续，都要说明理由的奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1讨论下列函数在给定点处的连续性.(1)f(x)=x1，点x=0.(2)g(x)=sinx，点x=0.分析：我们如果要很直观地看在给定点是否连续，画图方法最方便．我们已经画出了两个函数的图象了.从图中，我们可以直接看出在x=0处函数连续的情况，函数f(x)=x1在点x=0处不连续，因为函数f(x)=x1在点x=0处没有定义.函数g(x)=sinx在点x=0处连续，因为函数g(x)=sinx，在x=0及附近都有定义，0limxsinx存在且0limxsinx=0而sin0=0.解：(1)∵函数f(x)=x1在点x=0处没有定义∴它在点x=0处不连续.解：(2)∵0limnsinx=0=sin0，∴函数g(x)=sinx在点x=0处是连续的.点评：写g(x)=sinx在点x=0处连续只要把第三个条件写一下就可以，因为它已经包含前两个条件了，我们已经知道函数在一点连续的定义了．例2求f(x)=xx∈［－1，1］的最大值和最小值．解：最大值f(1)=1；最小值f(－1)=－1．四、课堂练习：1．下面我们直接从图中，观察函数x=a处是否连续，并说出理由.第5页共6页（1）（2）（3）（4）（1）连续.因为函数在点x=a处有定义，极限存在，并且极限值等于在a点的函数值.(如图(1))(2)不连续.因为函数在x=a处的极限值不等于在x=a处的函数值.(如图(2))(3)连续.因为函数在点x=a处，有定义，有极限，极限值等于函数值.(如图(3))(4)不连续.因为函数在x=a处没有极限.(如图(4))(5)不连续.因为函数在x=a处没有定义.(如图(5))2.利用下列函数的图象，说明函数在给定点处是否连续.(1)f(x)=21x，点x=0解：∵f(x)在x=0处没有定义.∴f(x)在x=0处不连续.(2)f(x)=|x|.点x=0解：∵0limxf(x)=0=f(0),∴f(x)在x=0处连续.3.已知函数5.326421||14)5(31)(2xxxxxxxxf(1)求f(x)的定义域；(2)作出f(x)的图形；(3)判断f(x)是否处处连续.解：(1)f(x)的定义域是［－4，3.5］.(2)f(x)的图象如图所示.(3)由f(x)的图象可知，在定义域［－4，3.5］上，f(x)在点x=－1处不连续，因为f(x)在x=－1处没有极限.（5）第6页共6页点评：分段函数的定义域是其各段定义域的并集，易知基本初等函数在其定义域内都是连续的，因此分段函数在其各段内也是连续的，重点应判断各段的交界处是否连续，对这些点应用连续的定义判断，凡其图象在某点处断开，则函数在该点处不连续.4.利用函数的连续性求下列极限.(1)10limx(lg2x+3lgx+4)；(2)xxxee11lim0，(3)11lim31xxx初等函数(比如xα;α常数，指数函数、对数函数、正弦函数等等)在其定义域里每一点处的极限值等于该点的函数值，因为初等函数在其定义域内是连续的，这样就可以求初等函数的极限了.(1)(2)可以用此法求解，(3)中，由于在x=1处不连续，所以不能直接用0limxxf(x)=f(x0)来求极限，可以设法约去分子、分母的公因式，再求极限.解：(1)由于lg2x+3lgx+4在x=10处连续.因此10limx(1g2x+3lgx+4)=lg210+3lg10+4=8.(2)由于xxee11在x=0处连续，因此011111111lim000eeeexxx．(3)由于113xx在x=1处不连续.因此1limx11lim)1)(1()1)(1(lim116626166266613xxxxxxxxxxxx(x=1点为此函数的连续点)3211111666奎屯王新敞新疆五、小结：这节课主要学习了函数在一点连续的定义，以及必须满足的三个条件：①函数f(x)在点x=x0处有定义.②0limxxf(x)存在.③0limxxf(x)=f(x0).还有函数在开区间，闭区间上连续的定义.以及闭区间上连续函数有最大值.最小值的定义和最大值最小值定理奎屯王新敞新疆六、课后作业：1.奎屯王新敞新疆七、板书设计（略）奎屯王新敞新疆八、课后记：奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆