1.1.3导数的几何意义

§1.1.3导数的几何意义创设情境，诱发思考问题1.在初中平面几何中，我们是怎样判断一条直线是否是圆的切线或割线呢？在高中数学选修2-1中，我们又学习了椭圆，以上判断方法对椭圆的切线还适用吗？问题2.上述圆与椭圆的切线的判断方法是否适用于抛物线、双曲线，甚至更一般的曲线呢？请思考下图中的几条直线，哪些是曲线的切线？你有何体会？xyO5lABC3l4lDExyOA图1图21l2l问题3：圆的切线除了直接用公共点的个数来判断外，实际上也可以由割线通过绕点旋转来得到.A图3对于一般的曲线，是否也可以通过这种由割线绕点旋转的方式来得到切线呢？B问题5.求导数的方法步骤第一步：求平均变化率；xxfxxf)()(00第二步：取极限，得导数00000()()()limlim.xxfxxfxyfxxx问题4.导数的定义是什么？00000()()()limlim.xxfxxfxyfxxx问题6：你能借助图像说说平均变化率表示什么吗？请在图4中画出来。xxfxxf)()(00MΔxΔyOy=f(x)xy割线的斜率!PP1β图4实验探究，思维辨析问题7：请观察以下几何画板动画，并注意观察在点Pn沿曲线逐渐向点P靠近的过程中，割线PPn的运动情况。探究1：在Pn无限逼近点P的过程中，你能描述一下割线PPn的变化情况吗？TP1.曲线的切线的定义(),nnPPPPPT当时，割线确定位置PT叫曲线在点P处的切线。问题8：此处切线定义与以前学过的切线定义有何不同？结论：割线斜率的极限就是切线的斜率。xyxxxfxfxxx0011lim)()(lim001切线的斜率k=PTnPP平均变化率0x割线的斜率0x瞬时变化率切线的斜率平均变化率、瞬时变化率、切线PT的斜率与割线PPn变化过程中的斜率有什么关系呢？归纳提炼，得出新知函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即/0000()()lim=()=xfxxfxfxkx2.函数f(x)在x=x0处的导数的几何意义思考：导数的物理意义是什么？导数的物理意义:若y=f(x)是物体的运动方程，则f/(x0)是物体在x0时刻的瞬时速度.探究2:解决“问题2”xyO1lABC2l3lDE结论：这种通过“逼近”的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线，适用于各种曲线。这种定义具有一般性，真正反映了切线的直观本质。观察发现，思维升华问题9:研究导数的几何意义有什么作用？请思考下图中三幅图的含义。PPP结论：“以直代曲”是微积分中的重要的思想方法，即以简单的对象(切线)来刻画复杂的对象(曲线)。大多数的曲线就一小范围来看，大致可看成直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”。学而习之，牛刀小试[练习]求曲线y=f(x)=x2在点P(1,2)处的切线方程..2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在点(x0,y0)处的切线方程的基本步骤:1.利用导数的定义求出切线的斜率；2.然后利用点斜式写出切线方程.在可用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线来描述曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．游刃有余，提升能力[例1]观察跳水运动高度随时间变化的函数的图象，请描述曲线在t0,t1,t2附近的变化情况。以及t1,t2附近的增（减）快慢情况。2()4.96.510httt解：(1)当t=t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；(2)当t=t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h/(t1)0，所以，在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t1附近单调递减；(3)当t=t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h/(t2)0，所以，在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t2附近单调递减；另外，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢。思考：曲线在t=t3附近如何变化？请你说出理由.3t归纳小结，规律提炼问题10：通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到了哪些结论?(1)“以直代曲”：某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替；(2)函数的单调性与其导数正负的关系；(3)曲线的变化快慢与切线的倾斜程度的内在联系.课堂练习，巩固新知1.如果曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0，那么()/0.()0Afx/0.()0Bfx/0.()0Cfx/0.()Dfx不存在B2.已知函数f(x)图象如图，试描述函数f(x)在=-4，-2，0，1附近的变化情况.xyO124课堂小结，回味悠长1.本节课你学到了哪些知识？(1)曲线的切线的定义；(2)导数的几何意义：/0000()()lim=()xfxxfxkfxx2.通过本节课的学习，你了解了哪些方法？课堂小结，回味悠长(1)求曲线在某点处的切线的方法步骤。(2)利用函数导数的正负来判断函数的单调性；(3)利用切线的倾斜程度来判断曲线的变化快慢.3.通过本节课的学习，你了解了哪些数学思想？(1)“以直代曲”；(2)“逼近思想”；(3)“数形结合”；4.通过本节课的学习，你还想继续探究什么？(4)“极限思想”.课后作业1.阅读教材P6-82.P10习题A4-6。课后思考：已知导函数的下列信息：14,'()04,1,'()04,1,'()0.()xfxxxfxxxfxfx当时；当或时；当或时试画出函数图象的大致形状。'()fx课后思考，努力前行