基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案(共2课时)-人教课标版(新教案)

《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》教案§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（）【教学目标】．掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则．．学会利用公式求一些函数的导数．【教学重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则．【教学难点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则的应用．【教学过程】一、复习引入：．/y＝)(/xf＝xxfxxfxyxx)()(limlim00导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值．它们之间的关系是函数)(xfy在点0x处的导数就是导函数)(/xf在点0x的函数值．．求函数)(xfy的导数的一般方法：（）求函数的改变量)()(xfxxfy．（）求平均变化率xxfxxfxy)()(．（）取极限，得导数/y＝()fxxyx0lim．．几个用函数的导数（）0'C(为常数)（）1'x（）xx2)'(2（）21)'1(xx（）xx21)'(二、讲解新课：．为了方便，今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表．（）0'C(为常数)；（）1)'(nnnxx(Qn)；（）xxcos)'(sin；（）xxsin)'(cos；（）aaaxxln)'(；（）xxee)'(；（）exxaalog1)'(log；（）xx1)'(ln．．导数运算法则法则)()()]()(['''xvxuxvxu．法则[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx,[()]'()CuxCux．法则'2''(0)uuvuvvvv．三、讲解范例：例求的导数.解：′()′()′()′例求－－的导数.解：′(－－)′()′－()′－′′－－，例求453223xxxy的导数．解：563'2xxy．例求2(23)(32)yxx的导数．解：)'23)(32()23()'32('22xxxxy3)32()23(42xxx98182xx．例，求导数′.解：′()′()′()′·′()′例－x－，求′.解：′(－x－)′()′－(x)′－′()′()′－［(x)′·x()′］－·－(121212x·－x)－x1x(x)(－x1)．四、课堂练习：.求函数的导数.()－解：()′()′()′()′′··()－解：′(－)′()′－′′－()()(－)解：′［()(－)］′()′(－)()(－)′·(－)()(－)－－()()解：′［()］′()′()()′()(－)－().填空：()［()(－)］′()(－)()()解：［()(－)］′()′(－)()(－)′·(－)()(·)()(－)()()()()′()()解：()′()′()′()().判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.［()(－)］′(－)·()解：不正确.［()(－)］′()′(－)＋(＋)(－)′(－)()(－)(－)－()．五、小结：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．六、课后作业：（略）．§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（）【教学目标】．掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则．．理解掌握复合函数的求导法则；．学会利用公式求一些函数的导数．【教学重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则；复合函数的求导法则．【教学难点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则的应用；复合函数的求导法则的应用．【教学过程】一、复习引入：．常见函数的导数公式：（）0'C(为常数)；（）1)'(nnnxx(Qn)；（）xxcos)'(sin；（）xxsin)'(cos；（）aaaxxln)'(；（）xxee)'(；（）exxaalog1)'(log；（）xx1)'(ln．．导数的运算法则：法则)()()]()(['''xvxuxvxu．法则[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx,[()]'()CuxCux．法则'2''(0)uuvuvvvv．二、讲解新课：．复合函数：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(ufy与)(xu复合而成的函数一般形式是)]([xfy，其中称为中间变量．．求函数2(32)yx的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812xyxxxx；方法二：将函数2(32)yx看作是函数2yu和函数32ux复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2uyuu，(32)3xux，两个导数相乘，得232(32)31812uxyuuxx，从而有xuxuyy'''对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求′时，就可以转化为求′和′的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同．．复合函数的导数：设函数()在点处有导数′′()，函数()在点的对应点处有导数′′()，则复合函数(())在点处也有导数，且xuxuyy'''或′(())′()′()．证明：（教师参考不需要给学生讲）设有增量Δ，则对应的，分别有增量Δ，Δ，因为φ()在点可导，所以()在点处连续．因此当Δ→时，Δ→．当Δ≠时，由xuuyxy．且xyuyux00limlim．∴xuuyxuuyxuuyxyxuxxxx000000limlimlimlimlimlim即xuxuyy'''(当Δ＝时，也成立)．复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数．．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．三、讲解范例：例试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴32)2(xy；⑵2sinxy；⑶)4cos(xy；⑷)13sin(lnxy．解：⑴函数32)2(xy由函数3uy和22xu复合而成；⑵函数2sinxy由函数uysin和2xu复合而成；⑶函数)4cos(xy由函数uycos和xu4复合而成；⑷函数)13sin(lnxy由函数uyln、vusin和13xv复合而成．说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例写出由下列函数复合而成的函数：⑴uycos，21xu；⑵uyln，xuln．解：⑴)1cos(2xy；⑵)ln(lnxy．例求5)12(xy的导数．解：设5uy，12xu，则xuxuyy''')'12()'(5xux2)12(52534xu4)12(10x．注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数．有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导．例求()的导数．解：令();∴xuxuyy'''()′·()′··∴′()例求(3)的导数．分析：设(3)时，求′，但此时仍是复合函数，所以可再设3．解：令，(3)，再令，3∴xuxuyy'''′(′·′)，∴′′·′·′()′·()′·(3)′··(3)(3)·(3)(3)(32)，即′(32)例求32cbxaxy的导数．解：令3u，，∴xuxuyy'''(3u)′·()′3231u·()31()32()322)(32cbxaxbax，即′322)(32cbxaxbax例求51xx的导数．解：令xxuuy1,5，∴xuxuyy'''(5u)′·(xx1)′4455221(1)(1)11(1)()55xxxxxxxuxxx24654511115(1)5()xxxxx24515()xxx．即′－542)(51xxx例求x1的导数．解：令，x1，再令，x1∴xuxuyy'''·′()′·()′·(x1)′··210xx1·x1·21x－21x·x2∴′－21xx2例求函数(－)21x的导数．分析:可看成两个函数的乘积，－可求导，21x是复合函数，可以先算出21x对的导数．解：令，－，21x,令，ωxxvv()()′22211122)2(21xxxxx∴′()′′′(－)′·21x(－)·21xx23232161321xxxxxxx，即′2316xxx．四、课堂练习：．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)．()(－)()()()(－)()()解：()令，－∴xuxuyy'''()′·(－)′·(－)·(－)()令，∴xuxuyy'''()′·()′·()·()()令，－∴xuxuyy'''()′·(－)′·(－)(－)(－)－(－)()令，∴xuxuyy'''()′·()′·(·)()()．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(∈*)()()()()解：()令，xuxuyy'''()′·()′·()令，xuxuyy'''()′·()′－·－()令，xuxuyy'''()′·()′(uucossin)′·2)(cos)sin(sincoscosuuuuu·nxnnu22coscos1·()令，xuxuyy'''()′·()′(uusincos)′·2)(sincoscossinsinuuuuu·－u2sin1·－nxn2sin－．五、小结：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．六、课后作业：虽然在学习的过程中会遇到许多不顺心的事，但古人说得好——吃一堑，长一智。多了一次失败，就多了一次教训；多了一次挫折，就多了一次经验。没有失败和挫折的人，是永远不会成功的。快乐学习并不是说一味的笑，而是采用学生容易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什么大的压力的，人在没有压力的情况下会表现得更好。青春的执迷和坚持会撑起你的整个世界，愿你做自己生命中的船长，在属于你的海洋中一帆风顺，珍惜生命并感受生活的真谛！老师知道你的字可以写得更漂亮一些的，对吗,智者千虑，必有一失；愚者千虑，必有一得,学习必须与实干相结合,学习，就要有灵魂，有精神和有热情，它们支持着你的全部！灵魂，认识到自我存在，认识到你该做的是什么；精神，让你不倒下，让你坚强，让你不畏困难强敌；热情，就是时刻提醒你，终点就在不远方，只要努力便会成功的声音，他是灵魂与精神的养料，它是力量的源泉。