1.3.1函数单调性与导数(2)

函数单调性与导数(2)判断函数单调性的常用方法：（1）定义法（2）导数法复习回顾增函数减函数0)(xf设函数y=f(x)在某个区间内可导，),(ba0)(xf用导数法确定函数的单调性时的步骤是：（1）求出函数的导函数（2）求解不等式f/(x)0，求得其解集，再根据解集与定义域写出单调递增区间（3）求解不等式f/(x)0，求得其解集，再根据解集与定义域写出单调递减区间fxxaxbxcabcabfxRABCDyxx3223(),,,30()()()()()31.函数其中为常数，当时，在上()增函数减函数常数既不是增函数也不是减函数2.求函数=+的单调区间A课前练习111001--+-,,增区间为，，，减区间为，20f(x)xa:xxa:;1例确定函数的单调区间解:函数的定义域是[0,a],且当x≠0,a时,有:.2)43(2)2()(222xaxxaxxaxxaxxaxxf由及解得0x3a/4,故f(x)的递增区间是(0,3a/4).),,0(0)(axxf由及解得3a/4xa,故f(x)的递减区间是(3a/4,a).),,0(0)(axxf说明:事实上在判断单调区间时,如果出现个别点使得导数为零,不影响包含该点的某个区间上的单调性,只有在某个区间内恒有导数为零,才能判定f(x)在这一区间内是常数函数.例2:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.解:.13)(2axxf若a0,对一切实数恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.0)(xf若a=0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.,01)(xf若a0,则,易知此时f(x)恰有三个单调区间.)31)(31(3)(axaxaxf故a0,其单调区间是:单调递增区间:).31,31(aa单调递减区间:和).,31()31,(aa例3.已知函数f(x)=lnx-ax+-1(a∈R).当a≤时,讨论f(x)的单调性；1ax12解:(1)f(x)=lnx-ax+-1(x0)，1ax当x∈(1,+∞),h(x)0,f′(x)0,函数f(x)单调递增.112a-a+xxf′(x)=1(0)＞22axx+a=xx令h(x)=ax2-x+1-a(x＞0),(1)当a=0时,h(x)=-x+1(x＞0),当x∈(0,1),h(x)＞0,f′(x)＜0,函数f(x)单调递减；(2)当a≠0时,由h(x)=0,即ax2-x+1-a=0,11.a解得:x1=1,x2=(i)当a=时,x1=x2,h(x)≥0恒成立,此时f′(x)≤0,函数f(x)单调递减；1211ax∈(,+∞)时,h(x)＞0,f′(x)＜0,函数f(x)单调递减.1211a(ii)当0＜a＜时,＞1＞0，x∈(0,1)时,h(x)＞0,f′(x)＜0,函数f(x)单调递减；11ax∈(1,)时,h(x)＜0,f′(x)＞0,函数f(x)单调递增；(ⅲ)当a＜0时,＜0，11a当x∈(0,1)时,h(x)＞0,f′(x)＜0,函数f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时,h(x)＜0,f′(x)＞0,函数f(x)单调递增.综上所述:当a≤0时,函数f(x)在(0,1)单调递减,(1,+∞)单调递增；12当a=时,函数f(x)在(0,+∞)单调递减；1211a11-a当0＜a＜时,函数f(x)在(0,1)单调递减,(1,)单调递增,(,+∞)单调递减在研究含参函数的单调性时，一定要注意对函数的类型进行讨论，尤其是遇到二次函数形式的解析式中二次项系数含有参数时，一定要对二次项系数是否为0进行讨论，只有不为0时，才能看及注：根的大小.例4:当x1时,证明不等式:.132xx证:设123f(x)x,x).11(111)(2xxxxxxf显然,当x1时,,故f(x)是[1,+∞)上的增函数.0)(xf所以当x1时,f(x)f(1)=0,即当x1时,.132xx说明:利用函数单调性证明不等式是不等式证明的一种重要方法.1x00000/fxgx,xa,bFxfxgx,Fx,Fxa,bFxFa,FaFxfxgxfxgx.若证明，可以等价转化为证明若则在内单调递增，则若，则，即，即10xexx利用函数的单调性证明练习：思考?10'()(a,b),f(x),f(x),?在区间内若则在此区间上递增反之也成立吗20'()(a,b),f(x),f(x),?在区间内若则在此区间上递减反之也成立吗结论:(1)若f(x)在区间(a,b)内递增→f’(x)≥0在(a,b)内恒成立.(2)若f(x)在区间(a,b)内递减→f’(x)≤0在(a,b)内恒成立.fxa,b函数在内单调递增减的故：充要条件是000///fxfxa,bfxa,b.在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0/fx=fx.这就是说，在区间内的个别点处有不影响函数在区间内的单调性例5.(1)已知函数f(x)=ax3+3x2+x+1在R上是增函数,求a的取值范围.(2)函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]是减函数,求a的取值范围。1,3[－2,＋∞)练习：(1)若函数y＝x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是_________.(2)已知函数f(x)＝alnx+x在区间[2,3]上单调递增,则实数a的取值范围是_________.3+，3--，.,]4,1[)()()()2(.,)()()()1(.221)(,ln)(:2的取值范围求上单调递减在若函数的取值范围求存在单调递减区间若函数已知函数思维训练axgxfxhaxgxfxhxaxxgxxf()(,)11(),7216小结(1)若f(x)在区间(a,b)内递增→f’(x)≥0在(a,b)内恒成立.(2)若f(x)在区间(a,b)内递减→f’(x)≤0在(a,b)内恒成立.作业: