专题09-恰当分类搞定函数中参数讨论题(第一篇)-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破

一．方法综述1.分类讨论思想的含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的答案.对问题实行分类,分类标准等于是增加的一个已知条件,实现了有效增设,将大问题分解为小问题,优化了解题思路,降低了问题难度.2.分类讨论思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类讨论;(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论;(3)由数学运算要求引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性引起的分类讨论;(5)由参数的变化引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的分类讨论,特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.3.函数与导数问题中往往含有变量或参数，这些变量或参数取不同值时会导致不同的结果，因而要对参数进行分类讨论．常见的有含参函数的单调性、含参函数的极值、最值等问题，解决时要分类讨论．分类讨论的原则是不重复、不遗漏，讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，使解题步骤完整．本专题举例说明解答此类问题的方法、技巧.二．解题策略类型一函数单调性问题中的参数讨论【例1】【2018届新疆乌鲁木齐地区高三第一次监测】已知函数211xfxeaxax的定义域为{|01}xx，其中Ra，2.71828e为自然对数的底数.（Ⅰ）设gx是函数fx的导函数，讨论gx的单调性；（Ⅱ）若函数fx在区间0,1上单调递增，求实数a的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）21ae.【解析】（Ⅰ）∵'21xgxfxeaxa，∴'2xgxea；由于011xxee∴当1212aa时，'0gx，此时gx在0,1上单调递增；当22eaea时，'0gx，此时gx在0,1上单调递减；当122ea时，'0ln2gxxa，'0ln2gxxa，此时gx在0,ln2a上单调递减，在ln2,1a上单调递增【指点迷津】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．【举一反三】【山东省日照市2018届5月校际联考】已知函数(e为自然对数的底数)．(I)若的单调性；(II)若，函数内存在零点，求实数a的取值范围．【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】（I）定义域为故则(2)当时，在上单调递减，在单调递增．（Ⅱ）设,，设，则．(1)若,在单调递减，故此时函数无零点，不合题意.(2)当，考察函数，由于在上必存在零点.设在的第一个零点为，则当时，，故在上为减函数，又，所以当时，，从而在上单调递减，故当时恒有.即，令，则在单调递减，在单调递增.即注意到，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数在上有零点，符合题意.综上可知，的取值范围是.类型二函数极值问题中的参数讨论【例2】【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】已知函数（1）判断的单调性；（2）若函数存在极值，求这些极值的和的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（2）对函数求导得.因为存在极值，所以在上有解，即方程在上有解，即.显然当时，无极值，不合题意，所以方程必有两个不等正根.设方程的两个不等正根分别为，则，由题意知，由得，即这些极值的和的取值范围为．【指点迷津】1．对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需要分类讨论后解决问题．讨论的思路主要有：(1)参数是否影响f′(x)零点的存在；(2)参数是否影响f′(x)不同零点(或零点与函数定义域中的间断点)的大小；(3)参数是否影响f′(x)在零点左右的符号(如果有影响，需要分类讨论)．2．在研究函数极值问题的时候，要注意可导函数f(x)在点x＝x0处取得极大值的充要条件是：f′(x0)＝0，且存在一个x0的邻域(x0－σ，x0＋σ)，当x∈(x0－σ，x0)时，f′(x)0，当x∈(x0，x0＋σ)时，f′(x)0.可导函数在x＝x0处取得极小值的充要条件是：f′(x0)＝0，且存在一个x0的邻域(x0－σ，x0＋σ)，当x∈(x0－σ，x0)时，f′(x)0，当x∈(x0，x0＋σ)时，f′(x)0.【举一反三】【江西省南昌市2018届二轮复习测试（四）】函数在内存在极值点，则（）A．B．C．或D．或【答案】A【解析】②当在恒成立时，则且，得；综上，无极值时或.∴在在存在极值.故选A．类型三函数最值问题中的参数讨论【例3】已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．【答案】（1）[0,1]；（2）当0≤a≤13时，g(x)的最小值g(0)＝1＋a，最大值g(1)＝(1－a)e；当13a≤e－1e＋1时，g(x)的最小值g(0)＝1＋a，最大值g1－a2a＝2ae1－a2a；当e－1e＋1a1时，g(x)的最小值g(1)＝(1－a)e，最大值g1－a2a＝2ae1－a2a；当a＝1时，g(x)的最小值g(1)＝0，最大值g(0)＝2.法二：由已知，得f(0)＝c＝1，f(1)＝(a＋b＋c)e＝0，所以a＋b＝－1.对f(x)求导，得f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex.因为f(x)在[0,1]上单调递减，所以f′(x)≤0，即a(x2＋x－1)≤x在[0,1]恒成立．当x＝0时，a≥0；当x∈(0,1]时，a·x2＋x－1x≤1，即a·x－1x＋1≤1.因为函数y＝x－1x＋1在(0,1]上单调递增，且x－1x＋1∈(－∞，1]，所以0≤a≤1.综上所述，a的取值范围是[0,1]．g′(x)0，g(x)单调递减．所以g(x)在x＝1－a2a处取得最大值g1－a2a＝2ae1－a2a，在x＝0或x＝1处取最小值．因为g(0)－g(1)＝a(e＋1)－e＋1，所以当13a≤e－1e＋1时，g(0)－g(1)≤0，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1＋a；当e－1e＋1a1时，g(0)－g(1)0，g(x)在x＝1处取得最小值g(1)＝(1－a)e.当1－a2a≥1，即0a≤13时，x∈[0,1]时，g′(x)≥0，g(x)单调递增，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1＋a，在x＝1处取得最大值g(1)＝(1－a)e.综上所述，当0≤a≤13时，g(x)的最小值g(0)＝1＋a，最大值g(1)＝(1－a)e；当13a≤e－1e＋1时，g(x)的最小值g(0)＝1＋a，最大值g1－a2a＝2ae1－a2a；当e－1e＋1a1时，g(x)的最小值g(1)＝(1－a)e，最大值g1－a2a＝2ae1－a2a；当a＝1时，g(x)的最小值g(1)＝0，最大值g(0)＝2.【指点迷津】本题的第(1)问实际上是已知单调性，借助其与导数的关系，求参数的取值范围．求解的策略包括分类讨论和参变分离两大类，法1和法2分别使用了上述两种解法．本题的第(2)问是求函数的最大值和最小值，求最值需依赖于函数的单调性．而含参函数的单调性需要对参数进行分类讨论．在对参数进行讨论的时候，需要从三个层次来分类：第一层次，讨论－2ax－a＋1是否是一次式，分两种情况，当其是一次式时，进入第二层次；第二层次，讨论－2ax－a＋1的根的位置是否在所考查的范围[0,1]之间，分三种情况，当其根在[0,1]之间时，进入第三层次；第三层次，比较g(0)和g(1)的大小．【举一反三】已知函数（a、Rc），满足0)1(f，且0)(xf在Rx时恒成立．（1）求a、c的值；（2）若，解不等式；（3）是否存在实数m，使函数在区间上有最小值5？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）14ac；（2）m，3m或221m．【解析】试题分析：（1）由题根据f（1）=0可以得到21ca，根据0)(xf在Rx时恒成立得到0412a，然后解出a，c；（2）由0)()(xhxf得到021)(xbx，然后分当21b，21b，21b讨论求得解集；（3）根据对称轴在所给区间左侧，当mm12，中间，当212mmm，右侧，当212mm结合所给函数满足的条件进行分类讨论求得结果．试题解析：（1）由0)1(f，得21ca，因为0)(xf在Rx时恒成立，所以0a且△0441ac，161ac，即16121aa，0161212aa，0412a，所以41ca．5分（2）由（1）得412141)(2xxxf，由0)()(xhxf，得02212bxbx，即021)(xbx，所以，当21b时，原不等式解集为)21,(b；当21b时，原不等式解集为),21(b；当21b时，原不等式解集为空集．10分三．强化训练1．【2018届高三二轮训练】若函数f(x)＝ex(－x2＋2x＋a)在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的最大值为________.【答案】152【解析】由f(x)在区间[a，a＋1]上单调递增，得22()0[]1xfxexaxaa＝－＋＋，，＋恒成立，即2().]201[minxaxaa－＋＋，，＋当a≤12时，2201aaa－＋＋，则－12；当a12时，20(12)aa－＋＋＋，则12a152，所以实数a的取值范围是1a－152，a的最大值是152.填152.2．【2019年一轮复习讲练测】已知函数的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数在_____处取得极值.【答案】-1【解析】3.已知函数f(x)＝－x3＋x2，x＜1，alnx，x≥1.(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．【答案】（1）当x＝0时，函数f(x)取得极小值为f(0)＝0，函数f(x)的极大值点为x＝23.（2）当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.【解析】(1)当x＜1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝23.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)00，232323，1f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值故当x＝0时，函数f(x)取得极小值为f(0)＝0，函数f(x)的极大值点为x＝23.4.【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷（二）】已知函数．（1）当时，试求曲线在点处的切线；（2）试讨论函数的单调区间．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（Ⅰ）当时，函数定义域为，切线为（Ⅱ）当时，函数定义域为，在上单调递增当时，恒成立，函数定义域为，又在单调递增，单调递减，单调递增当时，函数定义域为，在单调递增，单调递减，单调递增当时，设的两个根为且，由韦达定理易知两根均为正根，且，所以函数的定义域为，又对称轴，且，在单调递增，单调递减，单调递增5．【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知函数，.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）记在上最大值为，若，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当时，函数在上单调递增，此时；②当即时，，∴在单调递减，∴，∵，∴，即；③当时，，而在，递增，在上递减，∴.由，得，令，则，∴，即，∴，∴.∴当时，，∴；当时，，∴.综合①②③得：若，则实数的取值范围为.6．【山东省安丘市2019届10月检测】函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ