含绝对值不等式的解法

含绝对值的不等式解法复习绝对值的意义：|x|=X0xX=00X0-x一个数的绝对值表示：与这个数对应的点到原点的距离,|x|≥0Ax1XOBx2|x1||x2|=|OA|=|OB|代数的意义几何意义类比：|x|3的解|x|3的解观察、思考：不等式│x│2的解集方程│x│＝2的解集？为{x│x=2或x=-2}02-2为{x│-2x2}不等式│x│2解集为{x│x2或x-2}02-202-2|x|0的解|x|0的解|x|-2的解|x|-2的解|x|的解15|x|的解15归纳：|x|a（a0)|x|a(a0)-axaXa或x-a-aa-aa1形如|x|a和|x|a(a0)的含绝对值的不等式的解集:①不等式|x|a的解集为{x|-axa}②不等式|x|a的解集为{x|x-a或xa}0-aa0-aa注：如果0a≤，不等式的解集易得.利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式.如果把|x|2中的x换成“x-1”,也就是|x-1|2如何解？变式例题：如果把|x|2中的x换成“3x-1”,也就是|3x-1|2如何解？题型一:研究|ax+b|()c型不等式在这里，我们只要把ax+b看作是整体就可以了，此时可以得到：||||(0)axbccaxbcaxbcaxbcaxbcc或x257.例1解不等式｜｜xxx{61}.｜，或解：由原不等式可得xx257257.，或整理，得xx61.，或所以，原不等式的解集是xx257257.，或练习:解不等式.(1)|x－5|8;(2)|2x+3|1.解:(1)由原不等式可得－8x－58,∴－3x13∴原不等式的解集为{x|－3x13}.(2)由原不等式可得2x+3－1或2x+31,∴x－2或x－1∴原不等式的解集为{x|x－2或x－1}.解题反思：2、归纳型如(a0)|f(x)|a,|f(x)|a不等式的解法。1、采用了整体换元。|f(x)|a-af(x)a|f(x)|af(x)-a或f(x)a解不等式|5x-6|6–x变式例题：型如|f(x)|a,|f(x)|a的不等式中“a”用代数式替换，如何解？|x|=xX0-xX≥0思考二：是否可以转化为熟悉问题求解？思考一：关键是去绝对值符号，能用定义吗？5x-6≥05x-66-x(Ⅰ)或(Ⅱ)5x-60-（5x-6）6-x解(Ⅰ)得：6/5≤x2解(Ⅱ)得：0x6/5取它们的并集得：（0，2）解不等式|5x-6|6–x解：解不等式|5x-6|6–x解：由绝对值的意义，原不等式转化为：-(6-x)5x-6(6-x)综合得0x2解(Ⅰ)得：0x2;|x|a（a0）的解集为：{x|－axa}|x|a（a0）的解集为：{x|x-a或xa}fxgxfxgxfxgx()()()或；()()()fxgxgxfxgx；推广题型：不等式|x|a与|x|a（a0）的解集fxaafxafxa(0)或；(0)fxaaafxa；推广练习1(1);(2)312xx312xx题型：不等式|x|a与|x|a（a0）的解集2.解不等式：|3x-1|x+3.1{|2}2xxx或2|34|1.xxx解习不练等式2222340340341(34)1xxxxxxxxxx原不等式或解1:41141351xxxxxx或或或1,513,xxx或，或{|1,13,5}.xxxx原不等式的解集为或或2|34|1.xxx解习不练等式2234(1)341xxxxxx原不等式或解2:22230450xxxx或13,1,5,xxx或或{|1,13,5}.xxxx原不等式的解集为或或(1)(3)0,(1)(5)0xxxx或解不等式：|x2-3|＞2x.练习:绝对值不等式的解法解析:(等价转换法)原不等式x＞3或x＜-1或-3＜x＜1.故原不等式的解集为{x|x＜1或x＞3}.03203223232222xxxxxxxx或或练习：把下列绝对值不等式转化为同解的非绝对值不等式。3、|x-1|2(x-3)4、2xx2xx5、|2x+1||x+2|1、|2x-3|5x2、|x2-3x-4|4例3、解不等式1︱3x+4︱≤6解法一：原不等式可化为：|34634xx|||1102634633534134113xxxxxx或或∴原不等式的解集为：52{1}33xxx或10|-3例3、解不等式1︱3x+4︱≤6解法二：依绝对值的意义，原不等式等价于：-6≤3x+4-1或13x+4≤6∴原不等式的解集为：52{1}33xxx或10|-352133xx解得：或，10-3比较此题的两种解法，解法二比较简单，解法二去掉绝对值符号的依据是：(0)axbaxbaxbaxbbxaa或或-||题型：不等式n＜|ax+b|＜m(m＞n＞0)的解集mbaxnbax||||方法一：等价于不等式组,naxbmmaxbn或方法二：几何意义推广af(x)bafxb或-bfxa()()-m-nnm0例2解不等式3|3-2x|≤5.5|23|31x：解法5|32|3x5|32|3|32|xx5325332332xxx或，4103xxx或，即}.4301|{xxx或，原不等式的解集是03-14题型二：不等式n＜|ax+b|＜m(m＞n＞0)的解集例2解不等式3|3-2x|≤5.5|32|3x，5323x3325x或.0143xx或，}.4301|{xxx或，原不等式的解集是03-14题型二：不等式n＜|ax+b|＜m(m＞n＞0)的解集5|23|3x解法2：练习2解不等式4357x题型二：不等式n＜|ax+b|＜m(m＞n＞0)的解集1．不等式1＜|x+1|＜3的解集是()A．(0,2)B．(-2,0)∪(2,4)C．(-4,0)D．(-4,-2)∪(0,2)D【解析】原不等式等价于1＜x+1＜3或-3＜x+1＜-1，当堂训练解得0＜x＜2或-4＜x＜-2.解：因为|x-1||x-3|所以两边平方可以等价转化为（x-1)2(x-3)2化简整理：x2平方法：注意两边都为非负数|a||b|依据：a2b2解不等式：31xx题型三：不等式的解集|f(x)||g(x)|22fxgxfxgx32xx例、解不等式≥2222)(2)22)xxxxxxxxxxxx2222≥（）≥（）≥0(≥0(2≥0≥-1推广不等式解集为xx≥-1练习3解不等式|2||1|xx题型三：不等式的解集|f(x)||g(x)|19xx2.解不等式19xx2219xx5x591四、练习解：xaxbcxaxbc题型：和型不等式的解法例4怎么解不等式|x-1|+|x+2|≥5呢?方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结合的思想).题型四：含多个绝对值不等式的解法125xx例5解不等式，，。A，，BA；BA，BA，BBAB，BB，；BAAA，AA。，，A，，A，，B，：2355511231211111111111式的解集是故原不等的距离之和都大于的任何点到点的右边的左边或点点的距离之和都小于之间的任何点到点与从数轴上可以看到点这时也有右移动一个单位到点向将点同理这时有到点个单位向左移动将点数都不是原不等式的解上的因此区间两点的距离是那么对应的点分别是设数轴上与解法x12-2-3ABA1B1解:(1)当x1时，原不等式同解于x≥2x-2-(x-1)-(x+2)≥5(x-1)+(x+2)≥5x1-(x-1)+(x+2)≥5≤≤x-21x≤-3x(3)当x-2时，原不等式同解于(2)当-2≤x≤1时，原不等式同解于方法二：|x-1|+|x+2|≥5，利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,把数轴分为三段,然后分段考虑把原不等式转化为不含绝对值符号的不等式求解（零点分段讨论法）题型四：含多个绝对值不等式的解法综合上述知不等式的解集为23≥≤xxx或解原不等式化为|x-1|+|x+2|-5≥0令f(x)=|x-1|+|x+2|-5,则-312-2-2xy由图象知不等式的解集为23≥≤xxx或方法三：|x-1|+|x+2|≥5通过构造函数，利用函数的图象(体现了函数与方程的思想)．题型四：含多个绝对值不等式的解法(x-1)+(x+2)-5(x1)f(x)=-(x-1)+(x+2)-5(-2x1)-(x-1)-(x+2)-5(x-2)2x-4(x1)f(x)=-2(x-2)-2x-6(x-2)型不等式的解法和）（cbxaxcbxax2①利用绝对值不等式的几何意义②零点分区间法③构造函数法234xx同步训练：解不等式练习4解不等式132+--xx题型四：含多个绝对值不等式的解法解不等式237xx24337xx3.解不等式:|2||1|3xx2x三、例题讲解例2解不等式|x+1|+|3－x|2+x.解析原不等式变形为|X+1|+|X－3|2+X.若|X+1|=0,X=-1;若|X－3|=0,X=3.零点-1,3把数轴分成了三部分,如上图所示.-13①②③(1)1,10,30,xxx当时(1)(3)2,0.xxxx原不等式变形为即,{|1}{|0}{|.1}xxxxxx此时得三、例题讲解例2解不等式|x+1|+|3－x|2+x.解：-13①②③(2)13,10,30,xxx当时(1)(3)2,2.xxxx原不等式变形为即,{|13}{|2}{|12};xxxxxx此时得(1)1,{1};xxx当时原不等式|的解为(3)3,10,30,xxx当时(1)(3)2,4.xxxx原不等式变形为即,{|3}{|4}|;{4}xxxxxx此时得{|2.,4}xxx则原不等式的解或集为,)3()2()1(的结果取并集将、、24三、例题讲解例3解不等式|x－1|+|2x－4|＞3+x解:(1)当x≤1时原不等式化为:1－x+4－2x＞3+x12x(2)当1＜x≤2时,原不等式化为:14230xxxx又∵1＜x≤2，∴此时原不等式的解集为φ(3)当x＞2时,原不等式化为44123xxxx综上所述，原不等式的解集为.421|xxx或12①②③12①②③41/2例6解不等式：(1)333xx(2)32112xxx(3)32112xxx17(4)311xx2、22xxxx练习：解下列不等式1、12(3)xx提升练习：解下列不等式xaxbab1、2、2112xx,22abababab当时，当时，－，222－，－－，5－