概率论与数理统计知识点总结(详细)

学习资料收集于网络，仅供参考学习资料《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念...................................................2§2．样本空间、随机事件.....................................................................2§4等可能概型（古典概型）................................................................3§5．条件概率..........................................................................................4§6．独立性..............................................................................................4第二章随机变量及其分布...................................................5§1随机变量.............................................................................................5§2离散性随机变量及其分布律............................................................5§3随机变量的分布函数........................................................................6§4连续性随机变量及其概率密度........................................................6§5随机变量的函数的分布....................................................................7第三章多维随机变量.........................................................7§1二维随机变量....................................................................................7§2边缘分布.............................................................................................8§3条件分布.............................................................................................8§4相互独立的随机变量........................................................................9§5两个随机变量的函数的分布............................................................9第四章随机变量的数字特征.............................................10§1．数学期望........................................................................................10§2方差...................................................................................................11学习资料收集于网络，仅供参考学习资料§3协方差及相关系数..........................................................................11第五章大数定律与中心极限定理.........................................13§1．大数定律......................................................................................13§2中心极限定理..................................................................................13第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系BA则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生B}xxx{或ABA称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件BA发生B}xxx{且ABA称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件BA发生B}xxx{且—ABA称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件BA—发生BA，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且SBABA，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件2．运算规则交换律ABBAABBA结合律)()()()(CBACBACBACBA学习资料收集于网络，仅供参考学习资料分配律)()B(CAACBA）（))(()(CABACBA徳摩根律BABAABAB—§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数An称为事件A发生的频数，比值nnA称为事件A发生的频率概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率)(AP满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A1)(0AP（2）规范性：对于必然事件S1)S(P（3）可列可加性：设nAAA,,,21是两两互不相容的事件，有nkknkkAPAP11)()(（n可以取）2．概率的一些重要性质：（i）0)(P（ii）若nAAA,,,21是两两互不相容的事件，则有nkknkkAPAP11)()(（n可以取）（iii）设A，B是两个事件若BA，则)()()(APBPABP，)A()B(PP（iv）对于任意事件A，1)(AP（v）)(1)(APAP（逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B有)()()()(ABPBPAPBAP§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1kiiieeeA，里学习资料收集于网络，仅供参考学习资料个不同的数，则有中某，是，，kkn2,1iii,21中基本事件的总数包含的基本事件数S}{)(1jAnkePAPkji§5．条件概率（1）定义：设A,B是两个事件，且0)(AP，称)()()|(APABPABP为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件1。非负性：对于某一事件B，有0)|(ABP2。规范性：对于必然事件S，1)|(ASP3可列可加性：设,,21BB是两两互不相容的事件，则有11)()(iiiiABPABP（3）乘法定理设0)(AP，则有)|()()(BAPBPABP称为乘法公式（4）全概率公式：niiiBAPBPAP1)|()()(贝叶斯公式：niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(§6．独立性定义设A，B是两事件，如果满足等式)()()(BPAPABP，则称事件A,B相互独立定理一设A，B是两事件，且0)(AP，若A，B相互独立，则BPABP)|(定理二若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与————与，与，BABAB学习资料收集于网络，仅供参考学习资料第二章随机变量及其分布§1随机变量定义设随机试验的样本空间为X(e)X{e}.S是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X(e)X为随机变量§2离散性随机变量及其分布律1．离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量kk)(pxXP满足如下两个条件（1）0kp，（2）1kkP=12．三种重要的离散型随机变量（1）分布设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是)101,0kp-1p)k(k-1kpXP（，）（，则称X服从以p为参数的分布或两点分布。（2）伯努利实验、二项分布设实验E只有两个可能结果：A与—A，则称E为伯努利实验.设1)p0pP(A)（，此时p-1)AP(—.将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。n2,1,0kqpkn)kX(k-nk，，P满足条件（1）0kp，（2）1kkP=1注意到k-nkqpkn是二项式nqp）（的展开式中出现kp的那一项，我们称随机变量X服从参数为学习资料收集于网络，仅供参考学习资料n，p的二项分布。（3）泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为,2,1,0,k!e)kX(-kkP其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布记为）（~X§3随机变量的分布函数定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数x-x},P{X)x(F称为X的分布函数分布函数)()(xXPxF，具有以下性质(1))(xF是一个不减函数（2）1)(,0)(1)(0FFxF，且（3）是右连续的即)(),()0(xFxFxF§4连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数)(xf，使对于任意函数x有,dttf)x(Fx-）（则称x为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度1概率密度)(xf具有以下性质，满足（1）1)((2),0)(-dxxfxf；（3）21)()(21xxdxxfxXxP；（4）若)(xf在点x处连续，则有)(Fx，)(xf2,三种重要的连续型随机变量(1)均匀分布若连续性随机变量X具有概率密度，其他，0aa-b1)(bxxf，则成X在区间(a,b)上服从均匀分布.记为），（baU~X(2)指数分布若连续性随机变量X的概率密度为，其他，00.e1)(x-xxf其中0为常数，则称X学习资料收集于网络，仅供参考学习资料服从参数为的指数分布。（3）正态分布若连续型随机变量X的概率密度为，，）xexfx-21)(222(，服从参数为为常数，则称（，其中X)0的正态分布或高斯分布，记为），（2N~X特别，当10，时称随机变量X服从标准正态分布§5随机变量的函数的分布定理设随机变量X具有概率密度,-)(xxxf，又设函数)(xg处处可导且恒有0)(,xg，则Y=)(Xg是连续型随机变量，其概率密度为其他，0,)()()(,yyhyhfyfXY第三章多维随机变量§1二维随机变量定义设E是一个随机试验，它的样本空间是X(e)X{e}.S和Y(e)Y是定义在S上的随机变量，称X(e)X为随机