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等腰三角形第20讲┃等腰三角形考点1等腰三角形的概念与性质考点聚焦定义有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底性质轴对称性等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴定理1等腰三角形的两个底角相等(简称为：__________)定理2等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简称“三线合一”两边一等边对等角中线第20讲┃等腰三角形拓展(1)等腰三角形两腰上的高相等(2)等腰三角形两腰上的中线相等(3)等腰三角形两底角的平分线相等(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高第20讲┃等腰三角形考点2等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：___________)拓展(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形等角对等边第20讲┃等腰三角形考点3等边三角形定义三边相等的三角形是等边三角形性质等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于______等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形相等60°3第20讲┃等腰三角形考点4线段的垂直平分线定义经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上实质构成线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点________的所有点的集合相等垂直平分线距离相等第20讲┃等腰三角形探究一等腰三角形的性质的运用命题角度：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形“三线合一”的性质．归类探究例1如图20－1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.求证：EF＝ED.图20－1第20讲┃等腰三角形解析根据等腰三角形三线合一，确定AD⊥BC.又因为EF⊥AB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可证明结论．第20讲┃等腰三角形证明∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED.第20讲┃等腰三角形(1)等腰三角形的性质揭示了三角形中边与角的转化关系，由两边相等转化为两角相等，是证明两角相等的常用方法；(2)等腰三角形“三线合一”是证明两条线段相等、两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据．第20讲┃等腰三角形探究二等腰三角形的判定命题角度：等腰三角形的判定．图20－2例2[2011·扬州]已知：如图20－2，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．第20讲┃等腰三角形解析(1)利用△BDC≌△CEB证明∠DCB＝∠EBC；(2)连接AO，通过HL证明△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，证明结论．第20讲┃等腰三角形解(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(AAS)．∴∠EBC＝∠DCB,∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．第20讲┃等腰三角形解(2)点O在∠BAC的平分线上．理由如下：连接AO.∵△BDC≌△CEB，∴DB＝EC.∵OB＝OC，∴OD＝OE.又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO(HL)．∴∠DAO＝∠EAO.∴点O是在∠BAC的平分线上第20讲┃等腰三角形要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有：(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等．第20讲┃等腰三角形探究三等腰三角形的多解问题命题角度：1．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底边之分，角有底角和顶角之分；2．遇到等腰三角形的高线问题要考虑高在形内和形外两种情况．例3[2013·毕节]已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为()A．16B．20或16C．20D．12C第20讲┃等腰三角形解析因为已知长度为4和8两边，没有明确哪条边是底边哪条边是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．①当4为底时，其他两边长都为8，长为4、8、8的三条线段可以构成三角形，周长为20；第20讲┃等腰三角形解析②当4为腰时，其他两边长分别为4和8，∵4＋4＝8，∴不能构成三角形，故舍去．∴答案只有20.第20讲┃等腰三角形综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可以灵活的解决内外角的关系．得到结论．第20讲┃等腰三角形探究四等边三角形的判定与性质命题角度：等边三角形的判定与性质的综合．例4如图20－3，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且CD＝AE，AD与BE相交于点P.(1)求证：∠ABE＝∠CAD；(2)若BH⊥AD于点H，求证：PB＝2PH.图20－3第20讲┃等腰三角形解析(1)欲证∠ABE＝∠CAD，可以通过证明△ABE≌△CAD得出；(2)欲证PB＝2PH，因为BH⊥AD于点H，在Rt△PBH中根据含30°的直角三角形的性质由∠BPH＝60°即可得到答案．第20讲┃等腰三角形证明(1)∵等边△ABC，∴AC＝AB，∠C＝∠CAB.∵CD＝AE，∴△CAD≌△ABE.∴∠CAD＝∠ABE.(2)∵∠BPH＝∠BAD＋∠ABP＝∠BAD＋∠CAD＝60°，且BH⊥AD于点H，∴∠EBH＝30°.∴在Rt△PBH中，PB＝2PH.第20讲┃等腰三角形等边三角形中隐含着三边相等和三个角都是60°等条件，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．第20讲┃等腰三角形探究五等腰三角形的创新应用命题角度：等腰三角形性质“等边对等角”与“等腰三角形的三线合一”的运用．例5如图20－4，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点A的坐标是(1，0)，点B、C在y轴上，在x轴上是否存在点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形？如果存在，请写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．图20－4第20讲┃等腰三角形解析先由等腰三角形三线合一的性质得出OB＝OC，∠OAB＝∠OAC＝60°，再取∠BPA＝BAP＝60°，所以PB＝AB＝PC＝AC，从而根据等腰三角形的定义得出△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．第20讲┃等腰三角形解在x轴上存在点P(－1，0)，P(3，0)使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．理由如下：①∵AB＝AC＝2，AO⊥BC，∠BAC＝120°，∴OB＝OC，∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝60°，∴取A(1，0)关于y轴的对称点P(－1，0)，则PB＝AB，PC＝AC，∠BPA＝∠BAP＝60°，∴PB＝AB＝PC＝AC，∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．第20讲┃等腰三角形解②∵P(3，0)，A(1，0)，∴BA＝AP＝AC＝2.又∵∠BAP＝∠CAP，∴△BAP≌△CAP.∴BP＝CP.∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．第20讲┃等腰三角形等腰三角形的等量问题回归教材证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图20－5，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE.证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角)．∵∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1＝∠2.在△BDC和△CEB中，∵∠ACB＝∠ABC，BC＝CB，∠1＝∠2，∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等)．图20－5第20讲┃等腰三角形中考预测已知：如图20－6，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E.请说明BD＋EC＝DE的理由．图20－6第20讲┃等腰三角形解∵DE∥BC，∴∠3＝∠2(两直线平行，内错角相等)．又∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3，∴DB＝DF(等角对等边)．同理，EF＝CE，∴BD＋EC＝DF＋EF，即BD＋EC＝DE.图20－6