伯努利方程式及其应用

第二篇流体动力学基本原理及流体工程流体动力学微分形式基本方程流体动力学积分形式基本方程伯努利方程及其应用量纲分析和相似原理流动阻力与管道计算边界层理论流体绕过物体的流动气体动力学基础第五章第六章第七章第八章第九章退出返回第十章第十一章第十二章第七章伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其限定条件实际流体的伯努利方程式实际流体的总流伯努利方程式相对运动的伯努利方程式伯努利方程式的应用第一节第二节第三节第四节第五节退出返回第七章伯努利方程式及其应用退出返回第1页第一节伯努利方程式及其限定条件在推导伯努利方程式之前，先讨论欧拉方程式的另一种形式，称为葛罗米柯方程式。令U为质量力函数，P为压力函数，使得xUX，yUY，zUZxPxp1，yPyp1，zPzp1而且zwwywwxwwtwtwxzxyxxxxddzwwywwxwtwxzxyxx)(212zwwywwx)(21222第七章伯努利方程式及其应用退出返回第2页第一节伯努利方程式及其限定条件zwwywwxwwx22xwzwwywx2222同理可得xzzxyy222dd2yxxyzz222dd2将以上三式代入（5.8）式(欧拉方程）得到第七章伯努利方程式及其应用退出返回第3页第一节伯努利方程式及其限定条件zyyzx2222xzzxy2222yxxyz2222将各项归并，并用行列式表示yxyxzxzxzyzyzyxwwtwwPUzwwtwwPUywwtwwPUx222222222（7.1）第七章伯努利方程式及其应用退出返回第4页第一节伯努利方程式及其限定条件式（7.1）即葛罗米柯方程式，它比欧拉方程式便于积分。但在一般情况下，无论是欧拉方程式或是葛罗米柯方程式，由于数学处理十分困难，求解往往是不可能的。仅在某些特殊情况下，欧拉方程式的三个偏微分方程式可以变成常微分方程式，使数学处理成为可能。下面讨论这些情况。一、理想流体沿流线的流动将欧拉方程式应用到沿流线的流动中，则根据流线方程式可知ywxwxydd，zwxwxzdd，ywzwzydd代入式（5.8）第1式，可得到twxzzwwxyywwxwwxpXxxxxxxxdddd1等式两边均乘以xd得到xtwzzwwyywwxxwwxxpxXxxxxxxxddddd1d第七章伯努利方程式及其应用退出返回第5页第一节伯努利方程式及其限定条件经整理可得到下式ttwzzwyywxxwwxxpxXxxxxxddddd1d即2ddd1d2xxx同样可得到y，z轴方向的关系式2ddd1d2yyy2ddd1d2zzz将三式相加2d222dddd1ddd2222第七章伯努利方程式及其应用退出返回第6页第一节伯努利方程式及其限定条件因为tzyxpp,,,，所以ttpzzpyypxxppddddd于是ttpwpzZyYxXd12dd1ddd2（7.2）式（7.2）就是沿流线的欧拉方程式。如果已知压力和密度的关系及其随时间的变化规律，以及质量力的特性，上式就可进行积分，由此求出速度场。二、无旋运动流场对于无旋流场，有如下特性ywxwxy，xwzwzx，zwywyz第七章伯努利方程式及其应用退出返回第7页第一节伯努利方程式及其限定条件代入式（5.8）的第1式，等式两侧均乘以dx，可以得到ttwwxxwwxxwwxxwwxxpxXxxzzyyxxddddd1d同样由式（5.8）的第2，3式可得ttwwyywwyywwyywwyypyYyyzzyyxxddddd1dttwwzzwwzzwwzzwwzzpzZzzzzyyxxddddd1d将上面三式相加，得到zzyyxx等式两侧均加ttpd1，且2222zyx，则有ttpwpzZyYxXd12dd1ddd2（7.3）第七章伯努利方程式及其应用退出返回第8页第一节伯努利方程式及其限定条件此式与式（7.2）相同，即任何流场的流线上各点的运动方程式和无旋运动流场中任意点的运动方程式是相同的，都是可以积分的常微分方程式。实际工程问题中经常遇到的质量力场为重力场，即X=0，Y=0，Z=–g。此时，式（7.2）或式（7.3）成为ttpwwzgpd1ddd1（7.4）对于稳定流动0tp，则上式成为0dddwwzgp式（7.5）为稳定流动、质量力只有重力时，沿流线或无旋流场的欧拉方程式。如果流体密度不变，则在稳定流动情况下，式（7.4）可以写成积分形式2ddd12wzgp（7.5）第七章伯努利方程式及其应用退出返回第9页第一节伯努利方程式及其限定条件或Cwgzp22式（7.6）是对于只有重力场作用下的稳定流动、理想的不可压缩流体沿流线或无旋流场的运动方程式的积分形式，称为伯努利方程式。此式说明在上述限定条件下，任何点的压力能、位能、动能之和为常量。利用葛罗米柯方程式（7.1），可以导得伯努利方程式更广义的限定条件。对于稳定流动，式（7.1）变成（7.6）zyzy222xzxz222yxyx222将上式分别乘以dx，dy，dz，相加得到zwwywwx第七章伯努利方程式及其应用退出返回第10页第一节伯努利方程式及其限定条件即zyxzyxddd22d2若上式等号右侧为零，则02d2wPU即CwPU22对重力场作用下的不可压缩流体gzU，ppPd于是Cwgzp22这就是伯努利方程式。它建立的条件是：在重力场作用下，不可压缩理想流体的稳定流动，此外还必须符合下列条件：第七章伯努利方程式及其应用退出返回第11页第一节伯努利方程式及其限定条件0dddzyxzyx要使上述三阶行列式等于零，有以下几种情况0xw，0yw，0zw，即静止状态（1）（2）0x，0y，0z，即无旋运动zyxwzwywxddd，即沿流线zyxzyxddd，即沿涡线zzyyxx，即螺旋运动（5）（4）（3）第七章伯努利方程式及其应用退出返回第12页第一节伯努利方程式及其限定条件这就是伯努利方程式所必须满足的广义限定条件。伯努利方程式是能量方程式，因为在推导过程中，曾经对欧拉方程式中以力为单位的各项乘以长度dx、dy、dz，并进行积分。式中三项分别为压力能，位能（势能）和动能。也就是说在符合限定条件的情况下，流场中各点的三种能量尽管它们可以互相转换，但其总和是不变的。这三种能量统称为机械能。伯努利方程式可以有不同的形式，式（7.6）各项表示单位质量流体的能量。如将式（7.6）除以g，则伯努利方程式的形式为Cgwzgp22式中各项单位为长度。在水力学中称为水头。gp为压力水头，z为静水头，gw22为速度水头。（7.6a）第七章伯努利方程式及其应用退出返回第13页第一节伯努利方程式及其限定条件如将式（7.6）乘以，则伯努利方程式如下式Cwgzp22式中各项单位为压力。p称为静压，gz称为位压，22w称为动压。（7.6b）第七章伯努利方程式及其应用退出返回第1页第二节实际流体的伯努利方程式在稳定流动、重力场作用的情况下，不可压缩理想流体沿流线的伯努利方程式可以写成2222222111wpgzwpgz对于实际流体，由于有粘性力，便有流动阻力，为了克服这种流动阻力，需要消耗一部分机械能。上式三项机械能之中，位能一项只决定于截面1，2的位置z1和z2，是不会改变的。动能一项受连续性条件的约束，只要流通截面A1，A2不变，也是不会改变的。唯一可能改变的是压力能，所以12pp，因而使2222222111wpgzwpgz或者写成whwpgzwpgz2222222111（7.7）第七章伯努利方程式及其应用退出返回第2页式中wh代表流体由截面1流至截面2所受的阻力损失，也就是实际流体流动时损失的机械能。这部分损失的机械能，转变为热能，增加了流体的内能。wh的计算在第九章中讨论。第二节实际流体的伯努利方程式第七章伯努利方程式及其应用退出返回第1页第三节实际流体的总流伯努利方程式一、缓变流图7.1缓变流流线在讨论实际流体总流的伯努利方程式之前，需要提出缓变流的概念。缓变流也称渐变流，是指流道中流线之间的夹角很小，流线趋于平行（图7.1），且流线的曲率很小（即曲率半径很大），流线都近似于直线的流动。反之则称为急变流。例如在弯头和渐缩、渐扩接管中的流动就属于急变流。前者流线的曲率很大，后者流线间的夹角很大。截面不变的直管中的流动都可看成是缓变流。缓变流具有如下特性：（1）由于缓变流流线的曲率很小，流体的向心加速度rw2引起的惯性力即离心力也就很小。所以对于缓变流流场，仍可认为质量力便很小，由此仅为重力，即第七章伯努利方程式及其应用退出返回第2页0X，0Y，gZ或者gzUZdd，gzU（2）对于稳定的缓变流，若把流动方向取为x轴方向，则wwx，0yw，0zw。由连续性方程式可知0zwywxwzyx，即0xwx，由于是稳定0twx，0twy，0twz。将此结果代入纳维—斯托克斯方程式流动，可得0002222zpZypYzwywxpXxx(7.8)第三节实际流体的总流伯努利方程式第七章伯努利方程式及其应用退出返回第3页第三节实际流体的总流伯努利方程式在后二式中质量力0Y，gZ，若将后两式分别乘以dy，dz，0dddzzpyypzg然后相加得到下式若x取某一定值时，则上式可以写成0ddpzg积分后得到Cgpz此式说明：对缓变流，在流道的某一流通截面上，任何点的都相等，为一常数。这和流体静力学中得到的结果相同，表明在缓变流中，与流动方向垂直的截面