港澳台高考数学模拟试题

第1页中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳台地区入学考试模拟试卷这份试卷共三个大题，共27小题.满分150分.考试时间为120分钟.考生注意：这份试卷共三个大题，所有考生做一、二题，在第三题（21、22、23）题中任选两题；理工考生做24、25题；文史考生做26、27题。第一部分选择题(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{0,1,2,3,4}U，集合{0,1,2}A，集合{2,3}B，则()UABð（）A．B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4}D．{2,3,4}2.复数13iz，21iz，则复数12zz在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（）A．3π2B．2πC．3πD．4π4.设()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()23xfx，则(2)f（）A．1B．14C．1D．1145.已知等差数列{}na的公差0d，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（）A．4B．3C．2D．12主视图左视图俯视图第2页6.函数2()ln(1)fxxx的零点所在的大致区间是（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,)eD．(3,4)7.已知命题“若p则q”为真，则下列命题中一定为真的是（）A．若p则qB．若q则pC．若q则pD．若q则p8.如图，已知(4,0)A、(0,4)B，从点(2,0)P射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．210B．6C．33D．259电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数πsin6IAt（0A，0）的图像如图所示，则当150t时，电流强度是（）A．5安B．5安C．53安D．10安10若函数()23kkhxxx在(1,)上是增函数，则实数k的取值范围是（）A．[2,)B．[2,)C．(,2]D．(,2]11甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x、y，则满足复数ixy的实部大于虚部的概率是[]（）A．16B．512C．712D．1312.在xOy平面上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意nN，连接原点O与第3页点(,4)nPnn，用()gn表示线段nOP上除端点外的整点个数，则(2008)g（）A．1B．2C．3D．4二，填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．13.在ABC中，a、b分别为角A、B的对边，若60B，75C，8a，则边b的长等于．14.某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是．（用数字作答）15.在RtABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则222111hab，由此类比：三棱锥SABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则．16.已知定义在区间[0,1]上的函数()yfx的图像如图所示，对于满足1201xx的任意1x、2x，给出下列结论：①2121()()fxfxxx；②2112()()xfxxfx；③1212()()22fxfxxxf．其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）17.在极坐标系中，圆2cos的圆心的极坐标是，它与方程π4（0）所表示的图形的交点的极坐标是．18.（不等式选讲选做题）已知点P是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z所满足的关系式为，222xyz的最小值是．19.图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含()fn个“福娃迎迎”，则(5)f；()(1)fnfn．（答案用数字或n的解析式表示）第4页20.通过点（2，-1，3）做平面x-2y-2z+11=0的垂线，则平面上的垂足为，三、解答题：在第三题（21、22、23）题中任选两题；理工考生做24、25题；文史考生做26、27题。解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．21．（本小题满分14分）已知向量(1sin2,sincos)axxx，(1,sincos)bxx，函数()fxab．（Ⅰ）求()fx的最大值及相应的x的值；（Ⅱ）若8()5f，求πcos224的值．22.（本小题满分14分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12．（Ⅰ）求小球落入A袋中的概率()PA；（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入A袋中的小球个数，试求3的概率和的数学期望E．第5页23.（本小题满分14分）如图所示的几何体ABCDE中，DA平面EAB，CB∥DA，2EADAABCB，EAAB，M是EC的中点．（Ⅰ）求证：DMEB；（Ⅱ）求二面角MBDA的余弦值．MCEDAB24．（本小题满分15分，文史类考生不做）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A、(2,0)B，P是平面内一动点，直线PA、PB的斜率之积为34．求动点P的轨迹C的方程；25．（本小题满分15分，文史类考生不做）已知()lnfxx，217()22gxxmx（0m），直线l与函数()fx、()gx的图像都相切，且与函数()fx的图像的切点的横坐标为1．（1）求直线l的方程及m的值；（2）若()(1)()hxfxgx（其中()gx是()gx的导函数），求函数()hx的最大值；．26．（本小题满分15分，理工类考生不做）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A、(2,0)B，P是平面内一动点，直线PA、PB的斜率之积为34．求动点P的轨迹C的方程；27．（本小题满分15分，理工类考生不做）已知()lnfxx，217()22gxxmx（0m），直线l与函数()fx、()gx的图像都相切，且与函数()fx的图像的切点的横坐标为1．（1）求直线l的方程及m的值；（2）若()(1)()hxfxgx（其中()gx是()gx的导函数），求函数()hx的最大值；．数学（理科）参考答案第6页一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的．题号123456789101112答案DBACBBCABABC二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．三、13．4614．1615．22221111habc16．②③17．(1,0)，π2,418．3xyz，319．41，4(1)n20.（1，1，5）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.解：（Ⅰ）因为(1sin2,sincos)axxx，(1,sincos)bxx，所以22()1sin2sincos1sin2cos2fxxxxxxπ2sin214x．因此，当ππ22π42xk，即3ππ8xk（kZ）时，()fx取得最大值21；（Ⅱ）由()1sin2cos2f及8()5f得3sin2cos25，两边平方得91sin425，即16sin425．因此，ππ16cos22cos4sin44225．22.解：（Ⅰ）记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，而小球落入B袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故33111()224PB，从而13()1()144PAPB；（Ⅱ）显然，随机变量34,4B，故3343127(3)4464PC，第7页3434E．23.解：建立如图所示的空间直角坐标系，并设22EADAABCB，则（Ⅰ）31,1,2DM，(2,2,0)EB，所以0DMEB，从而得DMEB；（Ⅱ）设1(,,)nxyz是平面BDM的法向量，则由1nDM，1nDB及31,1,2DM，(0,2,2)DB得11302220nDMxyznDByz可以取1(1,2,2)n．显然，2(1,0,0)n为平面ABD的法向量．设二面角MBDA的平面角为，则此二面角的余弦值121212||1cos|cos,|3||||nnnnnn．24.（26.）解：（Ⅰ）依题意，有3224PAPByykkxx（2x），化简得22143xy（2x），这就是动点P的轨迹C的方程；25.（27.）解：（Ⅰ）依题意知：直线l是函数()lnfxx在点(1,0)处的切线，故其斜率1(1)11kf，所以直线l的方程为1yx．又因为直线l与()gx的图像相切，所以由第8页22119(1)0172222yxxmxyxmx，得2(1)902mm（4m不合题意，舍去）；（Ⅱ）因为()(1)()ln(1)2hxfxgxxx（1x），所以1()111xhxxx．当10x时，()0hx；当0x时，()0hx．因此，()hx在(1,0)上单调递增，在(0,)上单调递减．因此，当0x时，()hx取得最大值(0)2h；．