学院青年教师讲课比赛获奖课件--洛必达法则

山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂第二节洛必达法则一.不定式极限00二.不定式极限三.其他不定式极限山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限转化(或型)本节研究:洛必达法则山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂一、)()(lim)3xFxfax存在(或为))()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2内可导在与axFxf定理1.型未定式00(洛必达法则)则山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂(在x,a之间)证:无妨假设,0)()(aFaf在指出的邻域内任取则在以x,a为端点的区间上满足柯故)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)()(limFfax)3定理条件:西定理条件,)()(lim)3xFxfax存在(或为),)()()()2内可导在与axFxf山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂推论1.定理1中ax换为,ax之一,推论2.若)()(limxFxf理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.,x洛必达法则山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂例1.求解:原式lim1x型00266lim1xxx23注意:不是未定式不能用洛必达法则!266lim1xxx166lim1x332x1232xx山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂例2.求解:原式limx型00221limxxx1211x21x11lim21xx思考:如何求nnn12arctanlim(n为正整数)?型山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂二、型未定式)()(lim)3xFxfax存在(或为∞))()(limxFxfax定理2.)()(limxFxfax(洛必达法则),)()()()2内可导在与axFxf则注:定理中ax换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.,ax,ax,xx,x山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂例3.求解:型原式11limnxxxnnxxn1lim0例4.求解:(1)n为正整数的情形.原式0xnxexn1limxnxexnn22)1(limxnxen!lim.)0,0(limnexxnx型山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂例4.求.)0,0(limnexxnx(2)n不为正整数的情形.nx从而xnexxkexxkex1由(1)0limlim1xkxxkxexex0limxnxex用夹逼准则kx1kx存在正整数k,使当x1时,山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂.)0(0lnlimnxxnx例3.例4..)0,0(0limnexxnx说明:1)例3,例4表明x时,,lnx后者比前者趋于更快.例如,而)0(xe用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂3)若,)()()(lim时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如,xxxxsinlim1cos1limxx极限不存在)sin1(limxxx1山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂洛必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111取对数令gfy三、其他未定式:解决方法:山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂例5.求).0(lnlim0nxxnx解:原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx.)tan(seclim2xxx解:原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim2例6.求型型0山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂例7.求.lim0xxx型00解:xxx0limxxxeln0lim0e1利用例5例8解.)(cotlimln10xxx求,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex取对数得)ln(cotln1lim0xxxxxxx1sin1cot1lim20xxxxsincoslim0.1e原式山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂例9.求.sintanlim20xxxxx解:注意到～原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31型00山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂内容小结洛必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy令取对数山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂思考与练习1.设)()(limxgxf是未定式极限,如果)()(xgxf不存在,是否)()(xgxf的极限也不存在?举例说明.极限原式xxxxx120cossin3lim21)1ln(x～x)03(2123分析:山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂分析:203cos1limxxx30limxx3.原式xsin～x1coslim0xxxxsin222103limxxxxcos1～221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂作业：p-1327习题3-21(6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),