毕业论文之大数定律

本科毕业论文论文题目：几个常见大数定律的比较及应用学生姓名：学号：专业：信息与计算科学指导教师：学院：1年月日目录中文摘要……………………………………………………………2英文摘要……………………………………………………………2一、引言……………………………………………………………3二、预备知识…………………………………………………………31.基本定义…………………………………………………………32.命题………………………………………………………………3三、几个常见大数定律及其比较………………………………………41.马尔科夫大数定律………………………………………………52.切比雪夫大数定律………………………………………………53.伯努利大数定律…………………………………………………54.泊松大数定律……………………………………………………65.辛欣大数定律……………………………………………………76.几个常见大数定律之间的比较…………………………………7四、大数定律的应用……………………………………………………81.在误差领域中的应用……………………………………………82.在数学分析中的应用……………………………………………83.在保险中的应用…………………………………………………94.结语………………………………………………………………11参考文献………………………………………………………………12几个常见大数定律的比较及应用徐基法摘要：大数定律是概率论的重要内容，它以严格的数学形式表达了随机事件的最根本的性质----平均结果的稳定性，是随机现象统计规律的具体表现。本文介绍了几种常见大数定律：马尔科夫大数定律，切比雪夫大数定律，泊松大数定律，伯努利大数定律和辛欣大数定律及它们的比较与关系。同时也介绍了大数定律在数学，特别是在保险领域中的应用。关键词：大数定律随机变量保险应用英文摘要：ThelawoflargenumbersistheimportantaspectofProbabilityTheory,ithasexpressedthemostbasicpropertiesoftherandomeventintheformofstrictmathematics----stabilityoftheaverageresult,itistheconcretemanifestationthattherandomphenomenoncountsthelaw.Thisarticledescribesafewcommonlawoflargenumbers:MarkovLawofLargeNumbers,ChebyshevLawofLargeNumbers,BeroulliLawofLargeNumbersandXinXinLawofLargeNumbersandtheircomparisonandrelations.Atthesametime,thisarticlealsointroducedthelawoflargenumbersinmathematics,especiallyintheapplicationofinsurance.Keywords:lawoflargenumbersstochasticvariableinsuranceapplication一.引言大数定律本来是一个数学概念，又叫作“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说这个定律就是在实验条件不变时，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如我们以抛硬币为例，硬币落下后哪面朝上本来是件偶然事件，但当我们抛硬币的次数足够多时就会发现，硬币正面朝上的次数约占总次数的二分之一。从概率的统计定义中可以发现：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近。人们在实践中观察其他一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性，这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关而且并不是随机的。深入考虑之后，人人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？什么条件下能够实现稳定性。大数定律在实际研究和生活及学习中又有怎样的应用？这就是大数要研究的问题。二.预备知识1.基本定义定义1.1设nY为一随机变量序列，Y为一随机变量，如果对任意的0，有1PlimYYnn，则称nY以概率收敛于Y，记作YYn定义1.2设有一随机变量序列nX，其数学期望nXE存在，令niinXnX11，若0limnnnXEX，则称随机序列nX服从大学定律。2.命题切比雪夫不等式设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对任意常数0，有2DXEXXP或21DXEXXP切比雪夫大数定律给出了在随机变量分布不明确的条件下，只利用其数学期望和方差就可对随机变量的概率分布进行估值的方法，这就是该不等式的作用。三.几个常见大数定律及其比较1.马尔科夫大数定律设随机变量序列nX满足条件1n，nEX，niiXD1且0112limniinXDn，则称nX服从大数定律。马尔科夫大数定律的使用条件比较宽松，可以运用于多种情形。2.切比雪夫大数定律设nX为一列两两不相关的随机变量序列，若每个iX的方差存在，且有共同的上界，即cXDini,,2,1，则nX服从大数定律。3.伯努利大数定律设n为n重伯努利试验中事件A发生的次数，p为每次试验中A出现的概率，则对任意的0，有1limpnnn伯努利大数定律说明：随着事件n的增加，事件A发生的频率nn与其概率的偏差pnn大于预先给定的精度的可能性越来越小，小到可以忽略不计，这就是频率稳定与概率的含义。而且，波努利大数定律还提供了用频率来确定概率的理论依据。例如要估计某产品的不合格品率，则可从这类产品中随机抽取n个，当n很大时，这n个产品中的不合格品的比例可作为不合格品率的估计值。4.泊松定理设n为n重伯努利试验中事件A发生的次数，已知在第i次试验中A出现的概率是10iippni,2,1，则111limniinnpnnP5.辛欣大数定律设nX为一独立同分布的随机变量序列，若iX的数学期望存在，则nX服从大数定律辛欣大数定律和切比雪夫大数定律告诉我们：算术平均数niin11“趋于”它的数学期望。这一结果对一些实际问题有着重要的指导意义。例如：我们在测量一物体的长度时，常常将n次测量结果nxxx,,21取其算术平均数niixn11，用它作为物体的真是长度。这一做法就可以根据上述结果加以解释。因为，由于种种原因，每次测量都会产生测量误差，这样，测量一物体的长度，可看成一随机变数。6.几个常见大数定律之间的比较6.1伯努利大数定律是泊松大数定律的推广，伯努利大数定律证明了事件在完全相同下重复进行的随机试验中频率的稳定性。而泊松定理表明，当独立随机试验的条件变化时，频率仍然具有稳定性，随着n的无限增大，在n次独立重复试验中，事件的频率趋于稳定在各次试验中事件出现概率的算术平均值附近。6.2马尔科夫大数定律的假设条件比切比雪夫大数定律的建设条件弱，同时也不能认为不满足切比雪夫大数定律的建设条件就不能成立大数定律。如下例：设,2,1nn是一相互独立的随机序列，且其分布列如下21lglgnnnn，则有0lglg21nnEn,2,1nnnnEDnnlglglg212,2,1n从而知nD不是一致有界的，故不满足切比雪夫大数定理的条件，然而nnkDDnknkknkklglg111，故有nnnDnnkk0lg112，即n满足马尔科夫大数定律条件，从而知n服从大数定律。6.3泊松大数定律是切比雪夫大数定律的特例。在泊松定理的题设nnnnnqqDpE1,,，故满足切比雪夫定律中的条件。6.4切比雪夫大数定律是马尔科夫大数定律的特例。由切比雪夫大数定律的假设可得：011limlimlimlim21212ncnncDnDnnnniinniin即满足马尔科夫大数定律的条件。可知，泊松定律，伯努利定律，切比雪夫定律都是马尔科夫定律的特例。不过马尔科夫定律不要求随机序列的相互独立性，它较上述三个定律的相互独立性条件大大放宽。四.大数定律的应用1.在误差领域中的应用1.1仪器测量已知量时，设n次独立得到的数据为,,,2,1,niXi，假设仪器无系统误差，问：当n充分大时，是否可取niiAXn121作为仪器测量误差的方差的值？解：把iX作为n个独立同分布的随机变量ni,,2,1的观察值，则uEXi,,2,1,2niDXi仪器第i次测量的误差AXi的数学期望2,AXDAuAXEii，设2AXYii，ni,,2,1则iY也相互独立服从于统一分布，在无系统误差时0AXEi，既有AuniDXEXXEEYiiii,,2,1,,22由切比雪夫大数定律，可得：1112limiinYnP，即:11122limiinAXn从而当n时随机变量niiAXn121以概率收敛于2，即当n充分大时，可取niiAXn121作为仪器测量误差的方差的值。根据大数定律，对于随机误差nii2,1,，应有011pniin。这说明当测量次数较多时，实际数据的平均值niina11和预测真值的差以很大概率趋向于0，因此，用求样本数据平均值的方法来进行测量是可行的。2.在数学分析中的应用2.1计算定积分baxdxgJ）()(的近似值解：为了解这种近似计算的依据，先进行如下分析：若令x为均匀分布的概率密度函数，即,0,a-b1xxbxa其余情况下，时，当则dxxxgab)()(J，而函数)(xg的数学期望abJdxxxgxg根据大数定律的应用可对该数学期望值进行估计，即abJgPnii1样本：2n11EabJxgnnii较大估计故可用Jxgnabnii估计11这种近似计算的具体过程是：欲计算baxdxgJ）()(的近似值，则应先取样本数列ix，再求函数数列ixg，以此求出niixgnab11，即作为J的近似值。2.2假设10,2;,,212222121nnnnxxxnxxxxxxG求其极限。解：假设随机变量,2,1,nnb，在1,0上均匀分布，且相互独立，有61161121221122122221222212222111EnPEnPPnPGPdxdxniinnnnnnGn由于,,2,1,nnn独立同分布，所以nnn2,1,2独立同分布，根据辛欣大数定律知：16112112EnPnii2.3在伯努利试验中，事件A发生的概率为p，若在第n次和1n次试验中A都出现，则令1nX；其它情况下，令0nX，证明：nX服从大数定律证明：nX为同分布随机变量序列，其共同分布为：