高中物理精讲---相遇和追及问题稿

第二章直线运动1.相遇和追及问题的实质2.画出物体运动的情景图，理清三大关系两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。（1）时间关系0tttBA0sssBA（2）位移关系（3）速度关系3.两种典型追及问题（1）速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）①当v1=v2时，A未追上B，则A、B永不相遇，此时两者间有最小距离；v1av2v1v2AB②当v1=v2时，A恰好追上B，则A、B相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件；③当v1v2时，A已追上B，则A、B相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。（2）同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追速度大者（匀速）①当v1=v2时，A、B距离最大；②当两者位移相等时，有v1=2v2且A追上B。A追上B所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍。av2ABv1=0vBAtov2t0v12t04.相遇和追及问题的常用解题方法画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。（1）基本公式法——根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解。（2）图象法——正确画出物体运动的v--t图象，根据图象的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求解。（3）数学方法——根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ判别式求解。例1.A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？解1：（公式法）两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。由A、B速度关系：由A、B位移关系：21vatv022121xtvattv2220221/5.0/1002)1020(2)(smsmxvva2/5.0sma(包含时间关系)v/ms-1BAt/so10t020100)1020(210tst2005.0201020tana2/5.0sma在同一个v-t图中画出A车和B车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100.物体的v-t图像的斜率表示加速度,面积表示位移。解2：（图像法）022121xtvattv代入数据得010010212tat若两车不相撞，其位移关系应为2/5.0sma0214)10(1002142aa其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有解3：（二次函数极值法）把物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。例2.一辆汽车在十字路口等候，当绿亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最大？此时距离是多少？x汽x自△x解1：（公式法）当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则自汽vatvssavt236自mmmattvxxxm62321262122自汽自3tan60tmmxm66221v-t图像的斜率表示物体的加速度当t=2s时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积st20动态分析随着时间的推移,矩形面积（自行车的位移）与三角形面积（汽车的位移）的差的变化规律v/ms-1自行车汽车t/so6t0α解2：（图像法）在同一个v-t图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中三角形的面积与矩形面积的差，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。设经过时间t汽车和自行车之间的距离Δx，则x汽x自△x2223621ttattvx自时当st2)23(26mxm6)23(462思考：汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？02362ttxsT4smaTv/12汽maTs24212＝汽解3：（二次函数极值法）例3.A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当B车在A车前84m处时，B车速度为4m/s，且正以2m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20m/s的速度做匀速运动。经过12s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？解：设A车的速度为vA，B车加速行驶时间为t，两车在t0时相遇。则有0tvsAA①)tt)(atv(attvsBBB0221②式中，t0=12s，sA、sB分别为A、B两车相遇前行驶的路程，依题意有sssBA③式中，s=84m，由①②③式得解得：0])[(22002astvvtttAB④代入题给数据vA＝20m/s，vB＝4m/s，a＝2m/s2，得：0108242tt⑤解得：t1＝6s，t2＝18s（t2不合题意舍去）⑥因此，B车加速行驶的时间为6s。画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，确定它们的位移、时间、速度三大关系。【例5】在平直的公路上，自行车与同方向行驶的一汽车同时经过A点，自行车以v=4m/s速度做匀速运动，汽车以v0=10m/s的初速度，a=0.25m/s2的加速度做匀减速运动.试求，经过多长时间自行车追上汽车?典型问题3：匀速追匀减速【解析】由追上时两物体位移相等s1=vt，s2=v0t-(1/2)at2s1=s2一定要特别注意追上前该物体是否一直在运动！t=48s.但汽车刹车后只能运动t′=v0/a=40s所以，汽车是静止以后再被追上的！上述解答是错误的汽车刹车后的位移.200m4021020s02tv所用时间为savt4025.01000在这段时间内，自行车通过的位移为)(160404mvtS自可见S自＜S汽，即自行车追上汽车前，汽车已停下【解析】自行车追上汽车所用时间svSt504200自汽练习1：甲车以6m/s的速度在一平直的公路上匀速行驶，乙车以18m/s的速度从后面追赶甲车，若在两车相遇时乙车撤去动力，以大小为2m/s2的加速度做匀减速运动，则再过多长时间两车再次相遇？再次相遇前何时相距最远？最远距离是多少？答案：13.5s；6s;36m。练习2：两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为V0，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停车时，后车以前车的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行的距离为S，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时应保持的距离至少为：AS.B2SC.3SD4SA甲乙v0v0B公式法图象法AAS甲乙乙A甲甲因两车刹车的加速度相同，所以刹车后的位移相等若甲车开始刹车的位置在A点，则两车处于相撞的临界态在A点左方，则两车不会相撞在A点右方，则两车相撞v0v0前车刹车所用时间0022vsvsvst恰好不撞对应甲车在这段时间里刚好运动至A点且开始刹车其位移svsvtvS22000所以两车相距至少要有2S解答：vOt1tBDv0ACt2图中⊿AOC面积为前车刹车后的位移梯形ABDO面积为前车刹车后后车的位移ACDB面积为后车多走的位移也就是为使两车不撞,至少应保持的距离SSSS23图象法：【典例研习2】(蚌埠一中第一学期期中)一辆轿车违章超车,以108km/h的速度驶入左侧逆行车道时,猛然发现正前方80m处一辆卡车正以72km/h的速度迎面驶来,两车司机同时刹车,刹车时加速度大小都是10m/s2.两司机的反应时间(即司机从发现险情到实施刹车所经历的时间)都是Δt,试问Δt为何值,才能保证两车不相撞?思路点拨:分析两车运动性质→画出两车运动情境图→找出临界条件→列位移、速度方程求解解析:设轿车初速度大小v1,位移大小x1,卡车初速度大小v2,位移大小x2,保证两车不相撞的临界条件是x1+x2=80m,如图所示.则x1=v1Δt+212va,x2=v2Δt+222va,又x1+x2=80m,得v1Δt+212va+v2Δt+222va=80m,将v1=108km/h=30m/s,v2=72km/h=20m/s,a=10m/s2,代入上式得Δt=0.3s.答案:0.3s灵活选用公式可使方程的个数减少,使运算简便.〚针对训练21〛(福建师大附中上学期期中)甲、乙两车均沿同一平直公路同向行驶.初始时刻,甲车在乙车前方s0=75m处.甲车始终以v1=10m/s的速度匀速运动.乙车做初速度为零,加速度a=2m/s2的匀加速直线运动.求:(1)乙车追上甲车之前,两车之间的最大距离sm;(2)经过多少时间t,乙车追上甲车?(3)乙车一追上甲车,乙车就立即刹车,减速过程加速度大小a′=5m/s2,则再经过多少时间t′,甲、乙两车再次相遇.解析:(1)当甲乙两车速度相等时,两车相距最远v1=at1,t1=5s,sm=s0+v1t1-12a21t=100m.(2)乙车追上甲车时,乙车比甲车多走s0,12at2-v1t=s0,解得:t=15s.(3)乙车追上甲车时,速度为v2,v2=at=30m/s,乙车刹车所用时间为t2,t2=2va=6s,甲、乙两车再次相遇满足:v1t3=v2t3+12(-a′)23t,解得t3=8s6s,所以是乙车停下后甲车追上,s=v2t2/2=90m,t′=s/v1=9s.答案:(1)100m(2)15s(3)9s