隐函数的导数

目录上页下页第二章导数与微分目录上页下页第五节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率四、数学建模的实例目录上页下页一、隐函数的导数xOy23sin2xyyxy函数y=f(x)表示变量y与x之间的对应关系，这种对应关系的表示形式是多种多样的。例如：从下图中可以看到，对每一个x通过这条曲线都能有唯一的y与之对应，因此我们说这条曲线(或者方程x2+y3+siny=2)确定了一个函数y=f(x)，称其为由该方程确定的隐函数.则称方程在区间目录上页下页一、隐函数的导数如果在一定条件下，对于某区间I上的任意一个值x，一般地通过方程相应地总有满足这个方程的唯一的实数y(,)0,Fxy则称方程在区间I上确定了一个隐函数.(,)0Fxy存在，相应的，诸如等由自变量x的解析式表示的函数称作显函数．ln(1),sin.xyxeyxxOy23sin2xyyxy目录上页下页隐函数能化为显函数吗？23sin2xyy由方程不能解出y来，因此该隐函数不能显化.23sin2xyy0132yx321xy隐函数显化把一个隐函数化为显函数，就称隐函数显化.例如：并不是任意一个隐函数都能显化的.我们关心的是，若方程在某区间内确定了一个可导的隐函数，能否不对它进行显化而直接由方程求出它的导数呢？目录上页下页例1求方程确定的隐函数在点的导数．235100xyxy)(xfy0x解用替换中的y，得)(xfy235100xyxy2()35()100,xfxxfxx方程两边同时对求导数，得()()65()0,fxxfxxfx解方程即可求得6()6().55xfxxyfxxx目录上页下页解这个关于的方程，得dxdy2(3510)0,xyxy即650.dydyyxxdxdx注意到y是x的函数这一事实，我们可以不必像上边那样去作代换，而直接将方程两边同时对x求导数，有6,5dyxydxx由方程可知，当时，，因此2y0x235100xyxy00262.55xxydyxydxx这一步需要特别注意什么问题？你注意到隐函数导数的表示式的特点了吗？求隐函数在某一点处的导数时应特别注意什么？目录上页下页总结一下求隐函数的一阶导数可分哪几步？例2求方程所确定的隐函数的导数．0yexye)(xfy整理得0,yeyyxy解方程两边同时对求导数，利用复合函数的求导法则（注意，这里是的函数），得xxy(),yxeyy于是有.yyyxe1.方程左右两边对x求导(注意y是x的函数,因此对y的函数求导时要用复合函数求导法则).2.解方程，求出y’(注意y’表达式中即含有x，也含有y).目录上页下页例3求椭圆上点处的切线方程．22143xy3(1,)2解由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为该方程所确定的隐函数在点处的导数.3(1,)2220.43xyy解得3.4xyy22()(1)43xy原方程两边分别对x求导，得1323311.34242xyxky因此，所求切线斜率从而，所求的切线方程为31(1)22yx24.xy讨论：要求切线方程，关键要找到什么？目录上页下页下面又应怎么办？解由隐函数的求导法，得于是例4求由方程所确定的隐函数的二阶导数.sin0xyy22dxydx上式两边再对求导，得将上边求得的结果代入，得y1cos0,yyy1,1cosyy22(1cos)1sin(),1cos(1cos)(1cos)xxyyyyyyy231sinsin1cos.(1cos)(1cos)yyyyyy下面应怎么办？？？目录上页下页您看求隐函数的二阶导数的步骤可分几步？其中需要特别注意什么？1.方程左右两边对x求导(注意y是x的函数).2.解方程，求出y’的表达式.3.y’的表达式(或求导后方程)左右再对x求导(注意y和y’都是x的函数).4.将y’代入到上面求出的y’’中(注意y’’表达式中即含有x，也含有y).目录上页下页于是解将方程的两边取对数，得例5求的导数.(0,1)xyxxx11lnln1,yxxxyxlnln,yxx上式两边对求导，注意到是的函数，得yxx)(xyln1ln1.xyyxxx隐函数！讨论:这是一个幂指函数,既不能按照幂函数求导,也不能按照指数函数求导.你想怎么解决这个矛盾？对数求导法若方程左右两边同时取对数,能解决问题吗？由这个方程能说y是x的函数吗？目录上页下页于是例6求的导数.(1)(2)(3)(5)xxyxx解将方程的两边取对数（假定），得5x1ln[ln(1)ln(2)ln(3)ln(5)],2yxxxx上式两边对求导，注意到是的函数，得yxx)(xy(1)(2)lnln,(3)(5)xxyxx111111,21235yyxxxx于是111121235yyxxxx11111(1)(2).21235(3)(5)xxxxxxxx讨论:这个题目复杂吗？原因是什么？如果能“积化和差”好求导吗？怎么能“积化和差”?目录上页下页当时1x(1)(2)(3)(5)xxyxx当时32x(1)(2)(3)(5)xxyxx用同样的方法可得与上面相同的结果.总结一下，什么时候适合使用“对数求导法”？1.幂指函数求导数；2.函数为多个因子的乘积。目录上页下页求一般幂指函数的导数时，同样可以用上述“对数求导法”．但注意到，也可以利用复合函数求导法则求导．如)0)(()()(xuxuyxv)(ln)(xuxvey)ln(sin)()(lnsinlnsinsinxxeexyxxxxx)1sinln(coslnsinxxxxexx)sinln(cossinxxxxxx目录上页下页二、由参数方程所确定的函数的导数实例：抛射体的运动轨迹122,1,2xvtyvtgtxyOv1v2v其中g为重力加速度，t为时间.某时刻t时，炮弹在铅垂平面内所在位置的横坐标x与纵坐标y，它们都与t存在函数关系.如果把对应于同一个t的x,y的值看作对应的，这样就得到x与y之间的函数关系．利用代入消元法，消去参数t得到22211.2vgyxxvv目录上页下页则称此函数关系所表达的函数为由上述参数方程所确定的函数．下面我们来研究求参数方程所确定的函数的导数:一般地，若参数方程),(),(tytxt确定了y与x之间的函数关系，如果在上述参数方程中函数具有单调连续的反函数，)(tx)(1xt并且与函数可以构成复合函数，其中t为中间变量．)(ty)(1xt目录上页下页于是(),()tdydxt由一阶微分形式的不变性，有(),dytdt1,()dtdxt再由，利用反函数求导法则得1()tx代入得()dytdt().()dytdxt目录上页下页与可以构成复合函数，1()tx1(())yx定理1(参数方程求导法则)设参数方程(),()xttyt若在区间内可导，并且(),()xtyt(,)()0,t()xt1()tx()yt中，具有单调连续的反函数，并且则有().()dytdxt（参数方程求导计算公式）目录上页下页例7求由参数方程解所确定的函数的微商.dxdy)(xyy2(cossin),3(sincos),xy)0,0(ba[3(sincos)]3sin3tan.[2(cossin)]2cos2dydx目录上页下页例8已知椭圆的参数方程为求它在相应的点处的切线方程．4t04cos22,4x4cos,6sin,xtyt444(6sin)6cos3.(4cos)4sin2tttdyttdxtt解椭圆上对应于的点的坐标分别为：),(000yxM4t06sin32,4y曲线在点的切线斜率为：),(000yxM由直线的点斜式方程，可得所求的切线方程为332(22),2yx即3620.2xy讨论:求一点处的切线需要知道什么？由我们能知道什么？4txyO0M目录上页下页解显然所求夹角的正切为，因此dxdy例9根据前面所给的抛射体的运动轨迹方程122,1,2xvtyvtgt试求抛射体在时刻t时的运动方向与水平线间的夹角.222111()2()vtgtvgtdydxvtv21arctanarctan().vgtdydxv目录上页下页若皆二阶可导，有(),()tt),(),(tytxt设函数的参数方程为，利用参数方程求二阶导数参数方程的一阶导数为(),()tytdyydx()()dtdxt()()dtdtdttdx对一阶导数关于x求导,其变量t应看作中间变量,而按照复合函数求导法，()1()()dtdttt()().()tttty()().()ttttdxdt()1()dtdxdttdtdxdt()tdt目录上页下页由于2()()()()()(),()[()]ttttttt因此223()()()(),[()]dyttttdxt在实际计算时，通常利用22()().()ttdydxt不必刻意去记公式.目录上页下页2cotcos1sin])sin([])cos1([tttttatadxdy解由于，因此例10求由摆线的参数方程所确定的函数的二阶导数．(sin),(1cos)xattyat)(xyy22dydx2211(1cos).(1cos)2sin2attatcot2[(sin)]tatt总结一下，求参数方程确定的函数的二阶导数应该注意什么呢？目录上页下页而与又都xy三、相关变化率设变量y与x之间存在着函数关系y=f(x)，都是（对它们的自变量）可导的，)(tyyt这两个相互依赖的变化率称为相关变化率．t().yyt)(txx是第三个变量的函数：，)(txx如果函数yx那么由于与tdtdxdtdy因此二者分别相对于的变化率,之间存在依赖关系，之间也一定存在着依赖关系．目录上页下页我们要研究的相关变化率问题就是要研究变化率,之间的关系，从而利用其中的一个求出另外的一个．dtdxdtdy若变量x,y之间的关系是y=f(x)，由复合函数求导法则，得,之间的关系为dtdxdtdy,dydfdxdtdxdt即().dydxfxdtdt目录上页下页解已知梯子下端滑动的速率，欲求上端下滑的速率．我们必须首先建立梯子上端下滑的位移与下端离开墙脚的位移之间的关系．例11有一长度为5米的梯子铅直的靠在墙上．假设其下端沿地板离开墙脚而滑动，当其下端离开墙脚1.4米时，其下端滑动的速率为3米/分．问此时梯子上端下滑的速率为多少？2255.sx设梯子上端下滑的位移为米时下端离开墙脚的位移为x米，如图所示，有s讨论:要求的是谁对谁的相关变化率？已知的是谁对谁的相关变化率？首先应该做什么工作？目录上页下页这就得到了，关于的导数之间的关系．由米时