隐函数的求导公式

第五节隐函数的求导公式一、一个方程的情形二、方程组的情形显函数隐函数)(xfy0),(yxF0),,(zyxF(,)zfxy222ayx22xay22yax或显化问题：1.满足什么条件，方程能够确定函数？2.对于不能或难以显化的隐函数如何求偏导？0),(.1yxF一、一个方程的情形隐函数存在定理1),(yxF),(00yxP在点的某一邻域内具有设函数连续的偏导数，00(,)0,Fxy00(,)0,yFxy且能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数0),(yxF),(00yxP则方程在点的某一邻域内恒)(xfy)(00xfyyxFFdxdy，它满足条件，并有隐函数的求导公式定理证明略.推导求导公式：两边对x求导ddxyFyxF0yF在00(,)xy的某邻域内则xyxF,隐函数复合函数例1验证方程在点的某解令1),(22yxyxF则(1)2,xFx2yFy(2)(0,1)0,F(0,1)(3)(0,1)2yFy连续,0122yx)1,0(邻域内能唯一确定一个可导,且时0x1y(),yfx0x的隐函数并求这函数的一阶和二的值.阶导数在20,21yx(0)1.f且?xyo)1,0()0,1(21yx21yx注：在点(1,0)的邻域内方程不能唯一确定一个可导函数.2210xy(1,0)(1,0)20yFy0122yx)1,0(依定理知方程的某邻域内能唯一确定一个可导的函数在点yxFFdxdy,yx010.xydydx22()dydxdxdxy2yyxxy,13y22011.xydydx1),(22yxyxF一阶导数：(,)Fxy因的二阶偏导连续，故2yxyy例2设方程确定一个隐函数d.dyx解令(,)sin1,xFxyyexy,xxFey由隐函数求导公式,得则cosyFyx求ddxyFyxF.cosxeyyx.cosxeyyyx方程两边对x求导，另解解出()yfx注意到0),,(.2zyxF隐函数存在定理2的某一邻域内有连续的偏导数，),,(zyxF000(,,)Pxyz设函数在点邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续(,,)0Fxyz),,(000zyxP则方程在点的某偏导数的函数),(yxfz000(,),zfxy,它满足条件xzFzxFzyFFyz并有000(,,)0,zFxyz000(,,)0,Fxyz且(,,(,))0Fxyfxy两边对x求偏导xFxzFzxFyzFzyF同样可得则zFzx0xFyxzy推导求偏导公式：隐函数的求导公式,的隐函数设04222zzyx，求22xz.解令则,4),,(222zzyxzyxF,2xFx,42zFz,2zxFFxzzx22xz2)2()2(zxzxz2)2(2)2(zzxxz.)2()2(322zxz例3(,)0,,fyxyzzzxy由确定函数f具有连续偏导数，求偏导数.例412,xzFfzxFyf(,,)(,),Fxyzfyxyz令1(,,)(1)xFxyzf12(,,)yFxyzffz2(,,)zFxyzfy122yzFfzfzyFyf解则已知02zxyeze，求xz和yz.解(2)(0),xyzdezed()20,xyzedxydzedz)()2(ydxxdyedzexyzdyexedxeyedzzxyzxy)2()2(xz,2zxyeyeyz.2zxyexe例5两边全微分：0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF二、方程组的情形(,)(,)uuxyvvxy(,,,),Fxyuv),,,(vuyxG),,,(0000vuyxP0000(,,,)0,Fxyuv0000(,,,)0,GxyuvvGuGvFuFvuGFJ),(),(隐函数存在定理3设在点的某一邻域内有对各个变量的偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）连续偏导数,且),,,(0000vuyxP在点不为零，,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu),,,(0000vuyxP(,),uuxy),(yxvv000(,),uuxy000(,)vvxy则方程组在点唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的它们满足条件并有0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF的某一邻域内恒能函数vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu.),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv设0yvxu，1xvyu，求xu，yu，xv和yv.解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法，将所给方程的两边对x求导并移项,得,vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ220,xy例6xyyxxvyuxu,22yxyvxuxyyxvyuxxv,22yxxvyu将所给方程的两边对求导，用同样方法得,22yxyuxvyu.22yxyvxuyv在0J的条件下，,vxvxxuyuxvyxux解方程组，得（分以下几种情况）隐函数的求导法则0),()1(yxF0),,()2(zyxF小结),(xfyyxFFdxdy则),(yxfzzyzxFFyzFFxz,则(,,,)0(3)(,,,)0FxyuvGxyuv(,),(,)uuxyvvxy()xy则方程组两边对或求导，,(,).uvuvxxyy解出或思考题)(zyzx?yzyxzx已知，其中为可微函数，求思考题解答记)(),,(zyzxzyxF,则zFx1，,1)(zzyFy,)()(22zyzyzxFz,)(zyyxzFFxzzx,)()(zyyxzyzFFyzzy于是zyzyxzx.作业p.37习题8-51;3;6；7;8;10.(1);(3)；11.