数学百大经典例题-直线与平面的平行判定和性质

taoti.tl100.com你的首选资源互助社区典型例题一例1简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线a平面，直线Aab，则b和的位置关系如何？（2）直线a，直线ab//，则直线b和的位置关系如何？分析：（1）由图（1）可知：b或Ab；（2）由图（2）可知：//b或b．说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法．典型例题二例2P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：//PC平面BDQ．分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．证明：如图所示，连结AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是平行四边形∴COAO，连结OQ，则OQ在平面BDQ内，且OQ是APC的中位线，∴OQPC//．∵PC在平面BDQ外，∴//PC平面BDQ．说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．taoti.tl100.com你的首选资源互助社区典型例题三例3经过两条异面直线a，b之外的一点P，可以作几个平面都与a，b平行？并证明你的结论．分析：可考虑P点的不同位置分两种情况讨论．解：（1）当P点所在位置使得a，P（或b，P）本身确定的平面平行于b（或a）时，过P点再作不出与a，b都平行的平面；（2）当P点所在位置a，P（或b，P）本身确定的平面与b（或a）不平行时，可过点P作aa//，bb//．由于a，b异面，则a，b不重合且相交于P．由于Pba，a，b确定的平面，则由线面平行判定定理知：//a，//b．可作一个平面都与a，b平行．故应作“0个或1个”平面．说明：本题解答容易忽视对P点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论．典型例题四例4平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．已知：直线ba//，//a平面，b．求证：//b．证明：如图所示，过a及平面内一点A作平面．设c，∵//a，∴ca//．又∵ba//，∴cb//．∵b，c，∴//b．说明：根据判定定理，只要在内找一条直线bc//，根据条件//a，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a作平面与相交，我们常把平面称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化．和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．典型例题五例5已知四面体ABCS的所有棱长均为a．求：（1）异面直线ABSC、的公垂线段EF及EF的长；（2）异面直线EF和SA所成的角．taoti.tl100.com你的首选资源互助社区ABSC、分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．解：（1）如图，分别取ABSC、的中点FE、，连结CFSF、．由已知，得SAB≌CAB．∴CFSF，E是SC的中点，∴SCEF．同理可证ABEF∴EF是ABSC、的公垂线段．在SEFRt中，aSF23，aSE21．∴22SESFEFaaa22414322．（2）取AC的中点G，连结EG，则SAEG//．∴EF和GE所成的锐角或直角就是异面直线EF和SA所成的角．连结FG，在EFGRt中，aEG21，aGF21，aEF22．由余弦定理，得22222124142412cos222222aaaaaEFEGGFEFEGGEF．∴45GEF．故异面直线EF和SA所成的角为45．说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．典型例题六例6如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内．已知：直线//a，B，bB，ab//．求证：b．taoti.tl100.com你的首选资源互助社区分析：由于过点B与a平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面外，不存在过B与a平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法．证明：如图所示，设b，过直线a和点B作平面，且'b．∵//a，∴//'b．这样过B点就有两条直线b和'b同时平行于直线a，与平行公理矛盾．∴b必在内．说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据．(2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式．如上图，过直线a及点B作平面，设'b．∵//a，∴//'b．这样，'b与b都是过B点平行于a的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条，∴b与'b重合．∵'b，∴b．典型例题七例7下列命题正确的个数是（）．(1)若直线l上有无数个点不在平面内，则//l；(2)若直线l平行于平面内的无数条直线，则//l；(3)若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线平行；(4)若直线l在平面外，则//l．A．0个B．1个C．2个D．3个分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系．对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键．要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类．解：(1)直线l上有无数个点不在平面内，并没有说明是所在点都不在平面内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交．解题时要注意“无数”并非“所有”．(2)直线l虽与内无数条直线平行，但l有可能在平面内，所以直线l不一定平行．(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到．当//l时，若m且lm//，则在平面内，除了与m平行的直线以外的每一条直线与l都是异面直线．(4)直线l在平面外，应包括两种情况：//l和l与相交，所以l与不一定平行．taoti.tl100.com你的首选资源互助社区故选A．说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面．如直线l、m都平行于，则l与m的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线ml//、//l，则m与的位置关系可能是平行，可能是m在内．典型例题八例8如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交．已知：直线ba//，Pa平面．求证：直线b与平面相交．分析：利用ba//转化为平面问题来解决，由ba//可确定一辅助平面，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用．解：∵ba//，∴a和b可确定平面．∵Pa，∴平面和平面相交于过点P的直线l．∵在平面内l与两条平行直线a、b中一条直线a相交，∴l必定与直线b也相交，不妨设Qlb，又因为b不在平面内（若b在平面内，则和都过相交直线b和l，因此与重合，a在内，和已知矛盾）．所以直线b和平面相交．说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点，则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明）．典型例题九例9如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行．已知：a与b是异面直线．求证：过b且与a平行的平面有且只有一个．taoti.tl100.com你的首选资源互助社区分析：本题考查存在性与唯一性命题的证明方法．解题时要理解“有且只有”的含义．“有”就是要证明过直线b存在一个平面，且//a，“只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的．存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论．证明：(1)在直线b上任取一点A，由点A和直线a可确定平面．在平面内过点A作直线'a，使aa//'，则'a和b为两相交直线，所以过'a和b可确定一平面．∵b，a与b为异面直线，∴a．又∵'//aa，'a，∴//a．故经过b存在一个平面与a平行．(2)如果平面也是经过b且与a平行的另一个平面，由上面的推导过程可知也是经过相交直线b和'a的．由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面与重合，即满足条件的平面是唯一的．说明：对于两异面直线a和b，过b存在一平面且与a平行，同样过a也存在一平面且与b平行．而且这两个平面也是平行的（以后可证）．对于异面直线a和b的距离，也可转化为直线a到平面的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法．典型例题十例10如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．已知：l，//a，//a，求证：la//．分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力．利用线面平行的性质定理，可以先证明直线a分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平行．然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明a与l平行．taoti.tl100.com你的首选资源互助社区证明：在平面内取点P，使lP，过P和直线a作平面交于b．∵//a，a，b，∴ba//．同理过a作平面交于c．∵//a，a，c，∴ca//．∴cb//．∵b，c，∴//b．又∵b，l，∴lb//．又∵ba//，∴la//．另证：如图，在直线l上取点M，过M点和直线a作平面和相交于直线1l，和相交于直线2l．∵//a，∴1//la，∵//a，∴2//la，但过一点只能作一条直线与另一直线平行．taoti.tl100.com你的首选资源互助社区∴直线1l和2l重合．又∵1l，2l，∴直线1l、2l都重合于直线l，∴la//．说明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要．典型例题十一例11正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各取一点P、Q，且DQAP．求证：//PQ面BCE．分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行．关键是在平面BCE中如何找一直线与PQ平行．可考察过PQ的平面与平面BCE的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同．证明一：如图，在平面ABEF内过P作ABPM//交BE于M，在平面ABCD内过Q作ABQN//交BC于N，连结MN．∵ABPM//，∴AEPEABPM．又∵CDABQN////，∴BDBQDCQN，即BDBQABQN．∵正方形ABEF与ABCD有公共边AB，∴DBAE．∵DQAP，∴BQPE．∴QNPM．又∵ABPM//，ABQN//，taoti.tl100.com你的首选资源互助社区∴QNPM//．∴四边形PQNM为平行四边形．∴MNPQ//．又∵MN面BCE，∴//PQ面BCE．证明二：如图，连结AQ并延长交BC于S，连结ES．∵ADBS//，∴QBDQQSAQ．又∵正方形ABEF与正方形ABCD有公共边AB，∴DBAE，∵DQAP，∴QBPE．∴QSAQQBDQPEAP．∴ESPQ//，又∵ES面BEC，∴//PQ面BEC．说明：从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定．此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形”，那么题中的结论是否仍然成立？典型例题十二例12三个平面两两