数学的现实性及其在教材中的体现

数学的现实性及其在教材中的体现摘要：本文以美国教育百科出版社出版的供美国5~8年级书生使用的数学教材《情景数学》（MathematicsinContext）中的计算单元为载体通过该教材对因数和除数、平方数、实数的处理，从内容、编排以及习题上比较分析了该教材如何借助丰富生动的情景引导学生一步一步从现实世界走进抽象世界的过程，本文通过该教材与中国教材的比较探讨了研究该教材的意义，得出了包含信息量大、问题串式教学等看法。本文的内容对我国正在进行中的数学课程教材改革有着重要的参考价值。关键词：情景；计算；算法分析；问题串；现实性中图分类号：“数与计算”无论是中国还是荷兰，在整个中小学阶段的学习内容中占有相当大的比重。正确认识计算在数学教学中的作用，准确了解计算的内在思想和方法，能使我们的计算教学更加科学有效。计算教学直接关系着学生对数学基础知识与基本技能的掌握，关系着学生观察、记忆、思维等能力的发展，关系着学生学习习惯、情感、意志等非智力因素的培养。一定的计算能力是每个公民应具备的基本素养。诚然，计算本身具有较强的抽象性，但其反映的内容又常常是现实的，与人们的生活、生产有着十分密切的联系。新课程注重计算的现实意义，适当让学生经历一些现实情境，使学生通过活动体验、感受和理解运算的意义、来源、现实背景和本质。那么，研究国内外数学教材中关于“数与计算”的异同就变得十分有意义。尤其通过对他国教材的钻研，我们可以学习到别国优秀的地方，如何引导学生有兴趣的去学习。本文选取荷兰Britannica的《情境数学》（MathematicsinContext）这套教材八年级其中的一个单元《数的算法分析》（ReflectiononNumber），。提供进一步的发展和加强学生能力的活动。把分数、小数、百分数及比率比例综合在一起解决问题，深入体会这些概念的一般意义和数学的力量。由于这套教材是为5-8四个年级（12~16岁）使用设计的，相当于我国的初中。而我国的数的运算知识是主要在小学的高年级阶段，初中也会出现部分关于求平方内容，所以在此选取北京师范大学出版社《义务教育课程标准实验教科书-数学》（以下简称数学）三年级~八年级中的数以及乘除法运算的单元为例，分析两者之间的异同，并提出研究者自己的一些见解。1关于《情境数学》（MathematicsinContext）《情境数学》是在美国国家科学基金会（NSF）资助下。由美国Wisconsin-Madison大学Wisconsin教育研究中心Utrecht大学Freudenthal研究所以国际合作的方式共同开发的一套供5-8年级（10-14岁）学生使用的数学教材。这套用英文出版的荷兰教材，充分反映了荷兰现实数学课程的特色。了解和研究这套教材，对把握国际数学课程的改革与发展是有借鉴意义的。作者简介：严谨（1987-），女（壮族），广西南宁人，中央民族大学理学院2011级基础数学专业硕士研究生.1.1《情境数学》的课程目标《情境数学》的课程目标是让学生在解决实际问题的过程中学习数学，通过学生的自主探索、发展和解释学生自己解决问题的思路和方法，很明显，这一课程目标赋予了学生更广阔的思考和活动空间。在大量内容丰富的情景中认识、理解和发现数学，学生就不会像在传统的教室里那样仅仅是被动的知识接受者了。1.2《情境数学》中的《数的算法分析》《情境数学》在内容上包含数、代数、几何和统计四个系列，《数的算法分析》单元被放在八年级数的部分。纵向来看，在数的部分里，之前学过的单元有“分数运算（someofparts）”、“数的应用（cerealnumbers）”、“10的幂（poweroften）”等等；横向看来，八年级还要学习“数列（patternsandfigures）”、“函数（growth）”、“相似三角形（trianglesandpatchwork）”、“数系与信息处理（diggingnumbers）”等。无论从哪个角度来看，每个单元的内容都以相互交织的形式出现，相互之间的联系都非常紧密。而作为最高年级中唯一的数的部分，“数与计算”单元的综合性和难度不言而喻。2分析与比较2.1、选材丰富多样2.1.1Pascal三角和编码在《数的算法分析》这本教材里，首先以著名的Pascal三角形数型入手，通过不断提出问题来研究该数列的规律，并摸索出数字之间的关系和一些特性。另外还说到，Pascal三角形早在14世纪我国数学家朱世杰的著作中已有提及。这说明了,西方国家还是很认可中国在数学科学所作出的贡献。接下来，由日常生活中常见的条形码来引出编码这个概念，这样可以让学生很容易就明白什么是编码，学习编码有什么用。这比直接抛出一个定义要形象生动得多。在编码的学习中，表格和路线图是另一种编码的表现形式，从表格中能够发现编码的一些规律，同时还与Pascal三角联系了起来。在这部分里：（1）该教材深入浅出地解释了Pascal三角和编码，让看起来似乎很深奥教数学问题通过一连串的提问，启发读者自己逐步地去探究这个问题，像这样问题串的形式贯穿在《情景数学》这一套教材里，同时也是荷兰数学教育的一大特色。虽然这部分类似于简单数学编码的内容在我国的初中数学中没有涉及，而是在高中甚至到本科数学专业才有的内容，却在这里被讲解得浅显易懂，让这个年龄段的学生乐于接受。（2）其次，类似于这样对于我国数学教育来说，超纲的内容在这套教材的其他单元也有出现过，其目的并不是要学生掌握有多么深奥的数学知识，只是在相关知识点的编排上，需要合理合情的由一个知识点引出另一个，或是通过两者的比较学习让学生更容易接受。关于这一点，从中荷两国的要点叙述中就可以看到，我国课本在每一部分知识点都会给出一个完整的理论化体系，例如：定义/定理公式→说明/证明→例题→归纳结论→课后练习，。相反，荷兰的课本就显得不那么“正式”了，很多内容都是点到为止，不会多加深入。（3）为了整合知识点之间的关系，方便学生更好地理解和获取知识，同时还扩大了知识面，提高了学生的学习兴趣和积极性。从某种意义上说，这样的学习只是一种手段，不是目的，不是为了学习而学习，是因为兴趣，这也是中荷数学教育的最大区别。2.1.2因数除数在因数和除数部分，以3个例题来说明什么是因数，可以发现，教材所用到的例子情境比较广泛，从聚会上的分配蜡烛，到“保护海洋募捐活动”的照片展板排列，再到公司包装盒子尺寸的大小，十分生动。在第一章的最后，还有一个类似小游戏的活动，需要通过改变姿势并利用因子的知识来找出一个特殊的数字集合，其实就是一种变相找因数的课后练习。在这方面，国内教材的编撰就显得刻板枯燥得多。北师大版的《数学》里，类似的内容“倍数与因数”出现在五年级上册第一章。先是日常举例，给出一幅场景图，要求找出图中有哪些数字，把数字进行分类，于是就有了自然数和整数的概念。大多数时候，还是通过虚拟的两个学生之间的对话，来说明什么是因数什么是倍数，怎样判断，如何找出一个数的因数和倍数。值得一提的是，像这样人物对话的形式在荷兰教材中也多有出现；相同的地方还有，给出数字表，逐个圈出某数的因数和倍数。经过上述分析，我们得到了：（1）荷兰教材里鲜活的事例看似与教学活动没有什么必然的联系，但这样的编排把数学与生活紧密的联系起来，隐数学本质与现实生活之中，体现了数学的无处不在，无处不有。另外，从这些情境中，还能吸收到有用的社会信息。从这个意义来说，数学课本不仅仅是一本教科书，还是一本包罗万象的“百科全书”。现在我国中小学教材大都是图文并茂，从排版到彩页插图，比起荷兰的“白纸黑字”都堪称精致，但不容忽视的是，从内容上讲，并不如外国版的丰富多彩。（2）如上述所讲到的，国内教材数学情境都很生活化，比如商品价格，简单的数字游戏，商店装袋等等。不像荷兰教材涉及到很多大的社会方面的问题，例如总统选举，环保，社会调查等，我们的数学背景只局限在一个小范围内，只关注民生没有国计。（3）最后的活动教学很能激发学生学习的积极性，使数学练习不再是笔头作业，而是有趣味性的，这种教学形式也非常值得我们借鉴。2.2不同内容的融合与过渡2.2.1平方数我们知道，求平方数要比开平方简单，而联系代数平方与几何的纽带就是图形面积。《数的算法分析》便利用了这一点，把抽象的代数计算化为形象的几何图形。在平方数之后，就讲到了它的逆运算平方根，这时候就需要学到估算了。在几个“人物”的对话中，我们知道了求平方根的几种方法以及如何估算。这个学习的过程并不是课本直接教给你的，仍然是根据问题的引导来学习的。我国的平方运算出现在《数学》的八年级上册。由于前几章的内容都出现在小学课本，所以相较之下难度和深度明显提高了。初中生的理解能力和学习态度基本成型，因此也就不需要大篇幅的设计游戏这类趣味性的活动来辅助学习。相比之下，（1）《情景数学》里的叙述方式不仅仅有助于理解，还把代数与几何有机的结合起来，这种数形结合的形式在我国的教材中也是屡见不鲜。因此，这一部分是以图形面积类的应用题为主，在不断的提问中，启发学生自主习得关于平方数以及它的几何意义。（2）我国初中教材里的这部分，理论性更强，包含的知识点更多，例如开平方的数必须是正数等，是在《数的算法分析》里所没有讲到的。2.2.2不同类型的数经过计算，我们得到各种不同类型的数字。那么这些数字又有什么特性呢？数和运算是密不可分的，借由加减乘除幂运算，我们可以更好的了解数。这一章的标题名称叫“最后的反思”，因此，这也是对数与计算关系的一个补充总结。什么是非负数？怎样的计算可以得到非负整数？非负整数数在坐标数轴上表示有什么特点？这都是我们需要“反思”的问题。在这里，所谓的坐标实际上是网格图，这样的说法其实更容易让这个年龄段的学生理解数的几何表示。为什么在这里强调非负整数，因为在前面讲到平方根的时候，并没有详细讨论到能够开平方的数必须是非负数。在这儿，需要把数的范围延伸到有理数和无理数，自然会把数的界定会说得比较准确。同时需要借助平方根来引到无理数。比如，什么样的数的平方根会是无理数。总之，重点在于数，运算只是辅助。我国在七年级上册才引入了有理数、数轴的概念，这部分内容在第二章《有理数及其运算》。本章一开始以温度、知识竞赛比分为例，让学生发现“数怎么不够用了”，这时候，我们就需要学习到负数，于是总结之前所学到的分数、整数，于是就到了有理数。本章第二节《数轴》，继续沿用了温度计的例子，这便有了数轴。与荷兰教材不同，在我国的义务教育阶段，并没有学到坐标轴，（事实上，《数的算法分析》也只是网格图，类似于初级的坐标轴）。第三节《绝对值》，由于荷兰教材并没有涉及这个知识点，这里便不做赘述。第四到十一节是有理数的各种运算及混合运算。在加法运算这节，通过表示正负数的小球的移入和移出，十分生动的说明了有理数的加法；同时还运用了数轴上数字的移动，更形象的从数的几何意义的角度来诠释，最后总结有理数加法的运算法则。而关于加法运算的还提到了交换律和结合律。而在有理数的乘方这一节，有趣的是融合了简单生物学知识—细胞分裂来说明乘方运算的现实意义，这种学科间的融合在我国教材中多处可见。另外，在现代数学教育里，计算工具的使用也是十分重要的。所以，在十二节《计算器的使用》就详细的介绍了如何使用计算器来进行各种运算。关于平方根立方根的内容，是在《数学》八年级上册第二章《实数》。这里也是以“数怎么又不够用了”来引导学生发现问题。可与荷兰教材很不同的是，我们先给出无理数的概念，然后才有平方根和立方根。在平方根这一节里，应用例题是关于自由落体运动的，这显然是一个与物理相关的问题。本章的最后一节《用计算机开方》，经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力，这也是我们很重要的一个教学目标。3结论与思考3.1丰富的内容体现了数学的现实性首先，从内容范围来说，《数的算法分析》包含了pascal三角、因数、除数、编码、、质数、倒树形结构、乘法、格子乘法、除法、0的除法、完全平方数、非完全平方数、非负整数、坐标、网格图、有理数、无理数、幂和根等。《数学》涉及了因数、倍数、乘法、除法、乘法运算律、0的乘除法、乘方、平方根、