第七章微积分习题课_1_[1]

多元函数微分法习题课一、主要内容二、典型例题1、多元函数的定义、极限及连续性一、主要内容确定极限不存在的方法(1)此时即可断言极限不存在。找两种不同趋近方式,但两者不相等,),(lim00yxfyyxx使存在,（2）找一条特殊的路径，使),(yxP沿此路径趋向于),(000yxP时),(lim),(),(00yxfyxyx不存在．2、偏导数与全微分)(0,0yxxzxyxfyxxfx),(),(lim00000),(yxfz0000),(),(lim0xxyxfyxfxx),0()(oyBxAz),(),(0000yxfyyxxfzzd22)()(yx处在点),(),(000yxPyxfz可微连续偏导数连续偏导存在0dPz.,dyydxx规定dyyxfdxyxfyx),(),(0000yyzxxzPP00处可微的步骤：在判定),(),(00yxyxfz是否存在，、判定),(),()1(0000yxfyxfyx若不存在，则不可微，否则转下一步；，是否为判定0),(),(lim)2(00000yyxfxyxfzyx若为0，则可微，否则不可微，3、复合函数求导法、隐函数的求导法),,(vufz则复合函数)],(),,([yxyxfzuvxzyxzuzxuvzxvyzuzyuvzyv),(),(yxvyxu及隐函数存在定理1),(yxF),(00yxP设的某一邻域内满足:在点,0),()3(00yxFy则方程;0),()2(00yxF),(xyy),(00xyy的某一邻域内并有),(),(ddyxFyxFxyyx(1)具有连续偏导数;0),(yxF),(00yxP它满足条件在点恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数隐函数存在定理2设),,(zyxF在点),,(0000zyxP的某一邻域内有连续的偏导数，且0),,(000zyxF，0),,(000zyxFz，则方程,,(yxF0)z在某一邻域)(0PU内恒能唯一确定一个具有连续偏导数的),(yxfz，它满足),(000yxfz,并有zxFFxz，zyFFyz.),(),(yxvyxu及二、典型例题.2yxzdzxzy及，求设,1yyxxz,lnxxyzydyyzdxxzdz.ln1xdyxdxyxyyxyxxyxzyyln112).ln1(1xyxy解:例:，设yxxyeyxfzxyarctan)1(sin),(例:).1,1(),1,1(yxff求解:)1,1(xf1)1,1()1,(lim1xfxfx1arctan)1(lim1xxxx;4)1,1(yf1)1,1(),1(lim1yfyfy1sinlim1yyeyy.e1sinlimlim11yyeyyy1coslim1yey????,)0,0()2(;)1()0,0(),(,0)0,0(),(,)(232222一阶偏导是否连续函数是否可微偏导数是否存在函数是否连续点在求设dzyxyxyxyxz例:解:,)0,0(),()1(时当yxxzyzdz,)(22522234yxyxxy,)(22522234yxxyyx2522234)(2yxyxxy2522234)(2yxxyyxdx.dy)0,0(xz,)0,0(),(时当yxxzxzx)0,0()0,0(lim0xx0lim0)0,0(yzyzyzy)0,0()0,0(lim0yy0lim0yzxzzyx)0,0()0,0(lim0，其中22)()(yx222220))()(()()(limyxyx22222)0,0(),())()(()()(limyxyxxyyx而440)(4)(limxxx41,00且)0,0(),(yx.)0,0(),(点不可微在yxz;0.0)0,0(),(,0)0,0(),(,)(232222yxyxyxyxz)0(,sin,cosrryrx令.0)0,0(),(ryx等价于则),(lim)0,0(),(yxzyx(2)32240sincoslimrrr220sincoslimrr).0,0(z0.)0,0(),(点连续在所以yxz由(1)可知,.,)0,0(),(但不可微点偏导存在在yxz.)0,0(,点不连续在自然yxzz.,,)(,),(22yxzyzxzafdtetfzyxat为常数，求，具有一阶连续偏导数设),(222yxeyxxyfxz),(222yxeyxfxyz)22(222112xyefxyfxyxfyxzyx例:解:),,(22yxeyxff其中),,(22yxiieyxff).2,1(i,,),(),()2(Cgfxygyxxyfz其中设例:解:xz.2yxz求,1221gxyfyfyyxz2)(122111fyxfxyf221fy)(122221fyxfxygx21).(xygg这里gxy3).(xygg.113223112221gxyfyxfxygxfyf.,),3(22yxzdzyxfz则设dyfxdxfxy236fyxfx3186例:.),(22yzxzyzyzx，可导，求其中设例:解:),,(zyxF)(22yzyzx则,2xFx)()()(2yzyzyyzFy,2zFz令zxFFxzzyFFyz,yz,22zx.2yzyyz).(),(yzyz这里由方程具有一阶连续偏导数，设),(yxzzF例,0,0,12FxFyxy所确定.:xyzyzyxzx证明0),(xzyyzxF证),,(xzyyzxFF令则zxFFxzzyFFyz,2112FyFxFxyFxzy2111FxFy.2121FyFxFxyFyzx221FxzF2111FxFy212FFyzxz,2112FyFxFxyFxzyyz.2121FyFxFxyFyzxyzyxzx.xyz21221122FyFxFxyFzxFyxFzy,)()(212121FyFxFyFxxyFyFxz,),(为可微函数其中已知zyzx例.yzyxzx求解方程两边微分,得)()(2zydzyzxdzzdx2zydzzdy从而dzydyzxdzzdxdyzzdxdzyx)(dyyxzdxyxzdzxzyzxyyxyzxz.z.0),(,0),,(),,()(zxhzyxgyxfuxu由方程组设函数解例,0,0,zhyg且所确定.ddxu求3个方程,4个变量的方程组,)(),(),(xzzxyyxuu确定了3个1元函数:xudd方程组两边对x求导xgxhxfxyfyddxygyddxzgzdd0xzhzdd0xudd得由)3(得代入)2(得代入)1(xgxh,ddzxhhxz,ddyxzyxzgghghgxy.ddzyxzyyxyxhghgfggffxuxfxyfydd)1(xygyddxzgzdd0)2(xzhzdd0)3(例,),(2Cyxzz设ayxvyxu及且变换2可把方程0622222yzyxzxz化为,02vuz求常数a,并求出原偏微分方程的解.解将u,v视作中间变量,x,y视作自变量,则xvvzxuuzxz.vzuzyvvzyuuzyz.2vzauz22xz,222222vzvuzuzyxz2,)2(222222vzavuzauz22xz,222222vzvuzuz22yz,44222222vzavuzauz222226yzyxzxz,)6()510(2222vzaavuza0622222yzyxzxz02vuz0510062aaa.3a可化为,02vuz),()(vgufz其中f、g为任意的一元函数.yxvyxu32，又).3()2(yxgyxfz,),(2Cyxzz设ayxvyxu及且变换2可把方程0622222yzyxzxz化为,02vuz求常数a,并求出原偏微分方程的解.3a例选择题.)(),(),(),()1(00存在偏导数的在该点处处连续是在yxfyxyxf（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分条件.D.)(),(),(),(),()2(000000都存在，则、点的两个偏导数在设yxfyxfyxPyxfyx都存在；及),(lim),(lim)(0000yxfyxfByyxx存在；),(lim)(00yxfAyyxx点连续；在PyxfC),()(.),()(点可微在PyxfDB.)(3)(1)(1)(不存在；；；DCBA).(3lim)3(224200yxyxyx.)0,0(),0,0()(;)(;)(;)().()0,0()0,0(),(,0)0,0(),(,),()4(222存在可微分不连续极限不存在点在yxffDCBAyxyxyxyxyxfDD.iv)(i)(iii)()(i)(iv)(iii)()(i)(ii)(iii)()(i)(iii)(ii)()(DCBA；；；).(4)5(条性质考察二元函数的下面.),(),(iv)(;),(),(iii)(;),(),(ii)(;),(),(i)(00000000处的两个偏导数存在在点处可微在点处的两个偏导数连续在点处连续在点yxyxfyxyxfyxyxfyxyxfA