初中数学常用思想方法专题讲解

初中数学常用思想方法专题讲解安徽胡思文引入语数学思想方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识和技能的灵魂.正确运用数学思想方法是在中考数学中取得好成绩的关键.解中考题时常用的数学思想方法有：整体思想、分类讨论思想、方程思想、转化的思想、数形结合思想、归纳与猜想的思想等.中考解读数学思想是解决数学问题的灵魂，它在学习和运用数学知识的过程中起着关键性的指导作用.数学思想方法是中考考查的重点内容之一，还因为它是解决数学问题的根本策略，也是学生数学素养的重要组成部分.数学思想总是在解决问题的过程中体现出来，在中考中不会出现单纯的数学思想题目，这就增加了数学思想的掌握和训练的难度，但它也是有规律的，只要勤于思考和总结，经过适当的训练，相信你一定能够掌握初中数学常用的思想方法.回顾近年全国各地的中考题，不难发现数学思想方法的考查频率越来越高，涉及的知识点也越来越多.预计2009年中考，对数学思想方法的考查可能呈现以下趋势：需要利用数学思想求解的题目稳中有增，涉及的知识点更加分散.其中，函数与方程思想的考查，很可能集中体现在应用题中；数形结合思想的考查以选择和填空为主；分类讨论思想的考查主要在求解函数、不等式、空间与图形、概率等问题中出现；……，总之，数学思想的掌握和训练应引起同学们的重视.复习策略由于数学思想总是渗透在问题中，所以复习中要抓关键类型，突出重点知识和方法，比如方程思想与函数思想的联合复习等；要注意挖掘课本例、习题的潜在功能，以题思法，推敲其中的思想方法，多角度多侧面探讨条件的加强与弱化、结论的开放与变换、蕴含的思想方法、及与其他试题的联系和区别等，提高复习的效率.题型归类一、整体的思想整体思想是将问题看成一个完整的整体，把注意力和着眼点放在问题的整体结构和结构改造上，从整体上把握问题的内容和解题的方向与策略.运用整体思想解题，往往能为许多中考题找到简便的解法.例1（苏州市）若220xx，则22223()13xxxx的值等于（）A．233B．33C．3D．3或33分析：已知条件是一个一元二次方程，通过求出方程的解再代入计算，当然可以得到结果，但是显然很繁.注意到，条件可以转化为22xx，而且要求值的代数式中的未知部分都是2xx，所以可以整体代入.解：由条件得：22xx，所以22223()13xxxx=2223213=231331=233.故应选A.评注：从结构上对题目的条件和问题进行全面、深刻的分析和改造是应用整体思想的基础和关键.二、分类讨论思想分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法.其实质是化整为零，各个击破，化大难为小难的的策略.例2（南京市）若等腰三角形的一个外角为70，则它的底角为度．分析：由于题目没有交代这个外角是顶角的外角还是底角的外角，所以要分两种情况分别计算并讨论是否符合题意.解：⑴当顶角的外角是70时，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”知两个底角的和为70°，所以每个底角为35°；⑵当底角的外角为70°时，每个底角都是110°，这与三角形内角和定理相矛盾.故应填：35.评注：分类的原则是“不重不漏”，对每一种情况都要分析.三、方程思想方程是初中数学的重要内容，它内容丰富，涉及面广，综合性强，因而用方程思想解数学题有广泛的应用.利用方程思想的基本类型有：通过列方程或方程组求出待定系数，进而求出函数的解析式；研究函数图象的交点、解决二次函数图象与x轴交点的有关问题.方程思想在解决几何问题时也经常用到.所谓用方程思想解几何题，就是充分挖掘条件和结论中隐含的数量关系，借助图形的直观性质，寻求已知量与未知量之间的等量关系，从而列出方程（组），然后解出方程，进而使几何题得到解决.例3（龙岩市）一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是边形.分析：由于任意多边形的外角和都是360°，而n边形的内角和是2180n°，从而列出方程求解.解：设这个多边形是n边形，根据题意，得：2180n=360，解得n=4.评注：几何面积公式、多边形内角和公式、对角线条数公式等都是几何问题中常用的等量关系，根据几何中的等量关系列出方程是利用方程思想的核心.四、转化思想所谓的转化思想就是指在求解数学问题时,如果对当前的问题感到生疏困惑,可以把它进行变换,使之化生疏为熟悉，化繁为简,化难为易,,从而使问题得以解决的思想方法.这种思想是科学研究和数学学习中很常用的方法,它是解决新问题获得新知识的重要思想,在中考中我们可以通过它来突破并解决一些难题.例4（南通市）已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法：方法1：直接法．计算三角形一边的长，并求出该边上的高．方法2：补形法．将三角形面积转化成若干个特殊的四边形或三角形的面积的和或差．方法3：分割法．选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形．现给出三点坐标：A（-1，4），B（2，2），C（4，-1），请你选择一种方法计算△ABC的面积，你的答案是S△ABC＝．分析：平面直角坐标系中的图形的面积计算大多通过分割或补形转化为矩形和三角形解决.本题的关键是画出图形，找到相应的长度.解：如图，△ABC的三边中没有水平或竖直的，所以采用分割法.S△ABC＝11121322=2.5.（沿过点B的水平线分割）评注：本题的分割办法非常多，比如沿过B的竖直线分割、沿图中黑线补图等均可.五、数形结合思想所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题形象化、具体化.例5（巴中市））二次函数2(0)yaxbxca的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．240bacB．0aC．0cD．02ba分析：本题是把抽象的二次函数问题通过图象展现出来，也从图象中获取二次函数的性质，是数形结合思想的充分体现.解：由抛物线与x轴有两个交点可知A正确；由抛物线的开口向上知B也正确；由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上知C也正确；由图中对称轴的位置知02ba，所以D是错误的，故选D.评注：正如我国著名的数学家华罗庚所言——“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非”，将图形的数量关系，辅之以数，则更加具体直观，从而快速得到问题的答案．六、归纳与猜想的思想方法所谓归纳与猜想,就是在解决数学问题时,从特殊的、简单的、局部的例子出发,探寻一般的规律,或者从现有的已知条件出发,通过观察、类比、联想，进而猜想出结果的思想方法.例6（襄樊市）如图，在锐角AOB的内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同的射线，可得6个锐角；画3条不同的射线，可得10个锐角；……；照此规律，画10条不同射线，可得锐角个．分析：观察图形可发现：第1个图有（1+2）个角；第2个图有（1+2+3）个角；第3个图有（1+2+3+4）个角；……；所以第10个图应有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66个角；另一方面，第10个图中共有12条射线，每一条射线跟其它11条射线都能组成一个锐角，共有12×11=132个，但是每一个角都被它的两条边分别算了一次，所以，实际只有它的一半.解：12112=66（个）.评注：解决这类问题的关键是找出其中的规律.主要有两种方法，1.看后面图形与前一个图形发生了怎样的变化，从变化中找规律；2.看每个图形中角的个数与图形序号之间的关系，从而写出通式.七、样本估计总体思想用样本估计总体是统计的基本思想，主要包括三类：用样本中某类个体所占的比例来估计总体中这类个体所占的比例，用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差．例7（自贡市）今年3月5日，花溪中学组织全体学生参加了“走出校门，服务社会”的活动.九年级一班高伟同学统计了该天本班学生打扫街道，去敬老院服务和到社区文艺演出的人数，并做了如下直方图和扇形统计图.请根据高伟同学所作的两个图形，解答：（1）九年级一班有多少名学生？（2）补全直方图的空缺部分.（3）若九年级有800名学生，估计该年级去敬老院的人数.析解：统计图表部分的主要问题类型是从图表中获取信息、用样本的特性估计总体的相应特性.从条形统计图可看出：去社区进行文艺演出的同学有15人；从扇形统计图可看出其所占比例为310，所以该班共有学生50人；有总人数和打扫街道、文艺演出的人数可算得去敬老院的有10人；去敬老院的学生占学生总数的20%，据此可估计九年级800名学生中约有160人去了敬老院.评注：用样本的特性估计总体相应的特性是统计的价值所在，但结果都是“估计”.八、函数思想函数思想一方面是指以函数概念为依托，运用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来，（即建立函数表达式）并加以研究，从而使问题获得解决.另一方面是对函数概念本质的认识，即利用函数的图象或函数的性质去分析、观察其它数学问题并加以解决.例8（自贡市）抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库.已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨.从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）甲库乙库甲库乙库A库20151212B库2520108路程（千米)运费（元/吨·千米）
（1）若甲库运往A库粮食x吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式.（2）当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？分析：总费用是四项运输费用的和，根据题意，得：)]100(110[208)70(1512)100(25102012xxxxy将此关系式化简，并利用函数的性质分析即可.解：（1）依题意有：)]100(110[208)70(1512)100(25102012xxxxy＝3920030x（其中700x）（2）上述一次函数中030k∴y随x的增大而减小∴当x=70时，总运费最省，最省的总运费为：元）(37100392007030.评注：函数思想是解决实际问题中最佳方案、费用最低等类型问题的最主要方法.