初中数学思想方法大全

1/38初中数学思想方法大全教学的本质到底是什么？很显然，教学最本质的东西就是传授知识，提高素质，培养能力。那么，数学教学的本质又是什么呢？众所周知：“数学是思维的体操。”数学思想方法是数学的精髓，它是数学中最本质最有价值的东西。它是知识转化为能力的桥梁。所以从某种意义上说，数学教学的本质就是数学思想方法的教学，在数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，更应重视数学思想方法的参透，注意对学生进行数学思想方法的培养。一、数学思想方法是什么？数学思想方法是什么呢？其实它包换两个方面，即思想和方法。所谓数学思想，是指人们对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是用数学解决问题的指导思想，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，则是在数学提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们合称为数学思想方法。因此，在数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响,使学生终生受益。正如波利亚强调：在数学教学中“有益的思考方式、应有的思维习惯”应放在教学的首位。加强数学思想方法教学，必然对提高数学教学的质量起到至关重要的作用。二、初中阶段主要的数学思想方法有哪些？2/38纵观初中新课标教材，涉及到的数学思想方法大体可分为三种类型。第一类是技巧型思想方法（也称低层次数学思想方法），包括消元、降次、换元、配方、待定系数法等，这类方法具有一定的操作步骤。比较容易为学生所接受。第二类是逻辑型的思想方法（也称较高层次数学思想方法），包括类比、抽象、概括、归纳、分析、综合、演绎、特殊化方法、反证法等，这类方法都具有确定的逻辑结构，是普通适用的逻辑推理论证模型。第三类是宏观型思想方法（也称高层次数学思想方法），主要包括用字母表示数、数形结合、分类讨论、归纳猜想、化归转换、数学模型等，这类方法较多地带有思想观点的属性，揭示数学发展中极其普遍的方法，对数学发展起导向功能。学生较难领悟，需要教师在平时的教学中反复渗透。用图框表示是：（一）、宏观型思想方法1.化归转化思想方法不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露数学思想和方法技巧型思想方法逻辑型思想方法宏观型数学思想方法消元法、配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等分析法、综合法、归纳法、反证法等函数和方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等3/38出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。化归转化思想是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，使之成为简单、熟知问题的数学思想方法，它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想和方法。其核心就是将有待解决的问题转化为已有明确解决程序的问题，以便利用已有的理论、技术来加以处理，从而培养学生用联系的、发展的、运动变化的观点观察事物、认识问题、解决问题。（1）、转化与化归的原则：熟悉化原则：即陌生问题--熟悉问题，就是常说的通过旧知解决新知简单化原则：即复杂问题--简单问题具体化原则：即抽象问题--具体问题或直观问题极端化原则：即运用极端化位置或状态的特性引出一般位置上或状态下的特性，从而获得解决问题的思路。和谐化原则：即对问题进行转化时要注意把条件和结论的表现形式转化为更具数、式和形内部固有和谐统一特点的形式，以帮助我们去确定解决问题的方法。（2）转化与化归的主要途径有：正与反、一般与特殊的转化；常量与变量的转化；数与形的转化。有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，实现转化；④数学各分支之间的转化；⑤相等与不相等之间的转化；⑥实际问题与数学模型的转化.⑦利用“换元”、“画辅助线”、“消元法”、“配方法”，进行构造变形实现转化。（3）转化与化归的应用举例：4/38减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形等。例1如图，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走了.8米7米BA5/38思路和解答假设拖把的宽度是1米，某服务员拿着拖把沿着小路向前推，那人走遍小路相当于把整块场地拖完了，而拖1㎡的场地相当于那人向前走了1米，整块场地面积是7×8=56（㎡），所以那人从A走到B共走了56米，这样我们就把求线段长度问题化归成求面积问题了。下面是一个化几何问题为代数问题的例题例2如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为.思路和解答设次小正方形边长为x，则其余正方形的边长依次1+x,2+x,3+x,根据题意得：（2+x+3+x）（3+x+x）-【（3+x）2+（2+x）2+（1+x）2+2x2】=1，解得x=4.所以矩形色块图的面积为13×11=143.注：如果对待这个问题时只考虑几何的面积求法，很容易陷入分别求边长的死胡同，从而一筹莫展，这里采用代数考虑，将问题用一个方程表达出来，进而求出次小正方形的边长，进而求得解。这里又包含了整体思想、方程思想.2.数形结合的思想和方法数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。著名数学家华罗庚先生说：“数形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合千般好，隔离分家万事休。”6/38这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。（1）数形结合的主要途径：形转化为数：用代数方法研究几何问题，这是解析几何的基本特点.数转化为形：即根据给出的“数式”的结构特点，构造出与之相应的几何图形，用几何方法解决代数问题.数形结合：即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观、简捷、思路易寻.（2）数形结合的应用举例：应用：A利用数轴确定实数的范围；B几何图形与代数恒等式（或不等式）；C数与形相结合在平面直角坐标系中的应用；D利用函数图像解决方程、不等式问题；E数与形相结合在函数中的应用；F构造几何图形解决代数问题例如：在数轴上表示数；用数轴描述有理数的有关概念和运算（相反数、绝对值等概念，比较有理数的大小，利用数轴探究有理数的加法法则、乘法法则等）；在数轴上表示不等式的解集；代数的不等式（组）、方程和方程组，几何的几乎所有内容；函数方面（建立直角坐标系使点与有序实数对之间建立了一一对应关系，从而具备了数形转化的重要工具；从解析式和图像两个方面来研究函数，能更清晰地把握函数的性质；用图像解决代数问题〈如解不等式、解方程〉和用代数解决几何问题〈如通过解析式确定抛物线的对称轴、开口方向等〉）；运用代数、三角比知识通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题；能运用几何、三角比知识通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题。①数轴上的点与实数的一一对应的关系。②平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。③函数式与图像之间的关系。④线段（角）的和、差、倍、分等问7/38题，充分利用数来反映形。⑤解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决几何问题。⑥“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。⑦统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。例1、二元一次方程组的解的意义：二元一次方程组11122200axbycaxbyc的解有三种情况：①无解；②无数个解；③只有一个解。这三种情况可以转化为两条直线a1x+b1y+c1=0、a2x+b2y+c2=0的三种位置关系：①平行；②重合；③相交。方程组的解转化为两条直线的交点。当a1：a2=b1：b2≠c1：c2时，两条直线的斜率相同，y轴上的截距不同。此时两条直线平行，无交点，因而方程组无解。当a1：a2=b1：b2=c1：c2时，两条直线的斜率相同，y轴上的截距相同。此时两条直线重合，有无数个公共点，因而方程组有无数个解。当a1：a2≠b1：b2时，两条直线的斜率不相同，两条直线相交，只有一个交点，因而方程组只有一个解。例①2x+y+3=0，方程组无解。直线2x+y+3=0、4x+2y+1=0的位置关系：平行4x+2y+1=0②21020xyxy，方程组只有一个解。直线2x+y+1=0、x+2y=0的位置关系：相交。③24020xyxy，方程组有无数个解。两直线2x+4y=0、x+2y=0的位置关系：重合。8/38例2、图形隐含条件：例：在数轴上的位置如图，化简：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。解：∵b0,c0,bc,ab,|c||a|∴a-b0,b-c0,a+c0。|a-b|-|b-c|+2|a+c|=(a-b)-(b-c)-2(a+c)=-a-2b-c。例3、如图，是连接在一起的两个正方形，大正方形的边长是小正方形边长的2倍。问：若只许剪两刀应如何裁剪，使之能拼成一个新的大正方形？对于这一问题学生往往采取实验的方法，这里裁一刀，那里试一剪，但却极少有人能在短时间内拼凑好。如果对题目认真加以分析，我们不难发现，从已知到结论，图形虽然变了，但其中却还有没变的东西——面积，若设小正方形的面积为1，则其边长就是1，大正方形的变长是2，新大正方形的边长为5，这样一来，我们仅需沿着图4中边长为5的线段去考虑裁剪即可，而图中这样的线段没有几条，于是很快就能找到答案。3.分类讨论的思想和方法由于数学研究对象的属性不同,或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是把问题“分而治之，各个击破”。是一种逻辑划分的思想。从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题（1）（2）（1）（2）cb0ax9/38转化为“小”问题,便于求解。（1）分类的要点方法：分类是按一定的标准进行的，分类的标准不同，分类的结果也不相同；要注意分类的结果既无遗漏，也不能交叉重复；分类要逐级逐次地进行，不能越级化分。（2）分类讨论的步骤同一性、互斥性、层次性三原则仅仅保证合理分类,是分类讨论中的核心步骤,解