小学数学思想方法

——品《小学数学思想方法》这些是课堂教学的本源和精髓真正的教育是将在学校所学的知识全忘掉,所剩下的。——陶行知在学生的脑力劳动中，摆在第一位的并不是背书，而是让学生本人进行思考。背书会使人变傻。——苏霍姆林斯基数学思想是数学学科发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是数学课程教学的精髓，内涵十分丰富。数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。高考考试大纲的说明不懂得数学思想方法的数学教师不是一个称职的教师。——徐利治数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思想的理论和抽象程度要高一些，而数学方法的实践性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法；而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。因此，二者是有密切联系的。我们把二者合称为数学思想方法。数学思想方法是数学的灵魂，那么，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。一、符号化思想二、化归思想三、模型思想四、数形结合思想五、推理思想六、方程和函数思想七、几何变换思想八、分类讨论思想九、统计思想十、分析法和综合法十一、概率思想十二、反证法十三、集合思想十四、极限思想十五、假设法十六、运筹思想一、符号化思想1、符号化思想的应用。第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示。如：a+b=b+a第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。第三，会进行符号间的转换。第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。用符号表示变化规律。数列的变化规律:1,2,3,5,8,…图形的变化规律。一、符号化思想1、符号化思想的应用。2、符号化思想的教学。①②③④⑤⑥“垂直与平行”a∥b或者b∥a①②③④⑤⑥a⊥b或者b⊥a二、化归思想化归（转化）思想从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一。1、化归思想的具体应用。二、化归思想2、教学中的化归策略。（1）下图是平行四边形停车位，它的面积是（)。Ａ．7.5×4Ｂ．7.5×6Ｃ．6×4王老师在教学时，用木条制成一个长方形框教具，木条长18厘米，宽15厘米。它的周长和面积各是多少？如果把它拉成平行四边形，周长和面积会怎样？高底下底上底高平行四边形的面积＝底×高高底三角形的面积＝底×高÷２高上底梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷２123图1图2案例1：＋＋＋……＝214181161解决问题中的化归策略。（1）化抽象问题为直观问题。1解决问题中的化归策略。（2）化繁为简的策略。四年级（下册）第117---118页例1《植树问题》。例1：同学们要在全长100米的小路一边植树，每隔5米种一棵树（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？解决问题中的化归策略。（2）化繁为简的策略。全长间隔长度研究方法（线段图）间隔段数棵数5米5米1210米5米2315米5米34……发现：棵数=间隔数+1间隔数=棵数－1解决问题中的化归策略。（2）化繁为简的策略。全长间隔长度研究方法（线段图）间隔段数棵数5米5米1210米5米2315米5米34……发现：棵数=间隔数+1间隔数=棵数－1解决问题中的化归策略。（2）化繁为简的策略。把186拆分成93和93,93和93的乘积最大，乘积为8649。案例2：把186拆分成两个自然数的和，怎样拆分才能使拆分后的两个自然数的乘积最大？187呢？（2）化繁为简的策略。案例3：你能快速口算85×85＝，95×95＝，105×105＝吗？个位数是5的相等的两个数的乘积分为左右两部分：左边为因数中5以外的数字乘比它大1的数，右边为25（5乘5的积）。所以85×85＝7225，95×95＝9025，105×105＝11025解决问题中的化归策略。（3）化实际问题为特殊的数学问题。假设都是上山，那么总路程是18（6×3）千米，比实际路程少算了2千米，所以，上山时间是4小时。上山和下山的路程分别是12千米和8千米。案例1：某旅行团队翻越一座山。上午9时上山，每小时行3千米，到达山顶时休息1小时。下山时，每小时行4千米，下午4时到达山底。全程共行了20千米。上山和下山的路程各是多少千米？案例2：李阿姨买了2千克苹果和3千克香蕉用了11元，王阿姨买了同样价格的1千克苹果和2千克香蕉，用了6.5元。每千克苹果和香蕉各多少钱?解决问题中的化归策略。（3）化实际问题为特殊的数学问题。直接分析：1千克苹果和2千克香蕉6.5元，那么可得出2千克苹果和4千克香蕉13元；题中已知2千克苹果和3千克香蕉11元。用13减去11得2，所以香蕉的单价是每千克2元。再通过计算得苹果的单价是每千克2.5元。变式：1、水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2倍少30千克，这两种水果一共销售了180千克。销售苹果多少千克？2、水果商店昨天销售的香蕉比苹果的多30千克，这两种水果一共销售了180千克。销售苹果多少千克？3、水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍，销售的梨是香蕉的3倍。这三种水果一共销售了180千克。销售香蕉多少千克？4、水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍，销售的梨是苹果的2倍。这三种水果一共销售了210千克。销售香蕉多少千克？（4）化未知问题为已知问题。21案例1：水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2倍多30千克，这两种水果一共销售了180千克。销售香蕉多少千克？期末测试体现转化数学思想的题目：1、如下图，在推倒平行四边形面积公式的过程中，这一过程体现了（）数学思想。这一思想为后面学习三角形面积、梯形面积奠定基础。2、“转化”是一种常见的解决问题的方法。如下图，把一个半圆分成若干份，剪开后拼成一个近似的长方形，这两个图形（）。A、面积相等，周长也相等B、面积相等，周长不相等C、面积不相等，周长也不相等3、在小数除法中，如：要把这两个小数变成整数才能进行计算，把小数变成整数这一过程运用了（）的思想方法。5.2925.6292565三、模型思想1、模型思想的具体应用。2、模型思想的教学。2第一，学习的过程可以经历类似于数学家建模的再创造过程。《长方体的认识》①量一量；②比一比；③找一找；④折一折。小棒根数摆几个□剩几根小棒列式8□□8÷4＝29□□9÷4＝2……110□□10÷4＝2……211□□11÷4＝2……312□□□12÷4＝313□□□13÷4＝3……1……二年级下册《余数与除数的关系》结论：余数都比除数小。第三，应用已有的数学知识分析数量关系和空间形式，经过抽象建立模型，进而解决各种问题。第二，对于大多数人来说，在现实生活和工作中利用数学解决各种问题，基本上都是根据对现实情境的分析，利用已有的数学知识构建模型。案例1：小明的家距离学校600米，每天上学从家步行10分钟到学校。今天早晨出门2分钟后发现忘记带文具盒，立即回家去取。他如果想按原来的时间赶到学校，他从回家再到学校，步行的速度应是多少？（取东西的时间忽略不计）5米跳绳的根数12342米跳绳的根数7520剩余米数1010案例2：有一根20米长的绳子，要剪成2米和5米长两种规格的跳绳，每种跳绳各剪多少根？（要求绳子无剩余，并且每种规格的跳绳至少要有一根。）案例3：一瓶矿泉水满瓶水为500毫升，小林喝了一些，剩余的水都在圆柱形的部分，高度是16厘米。如果把瓶盖拧紧，倒立过来，无水的部分高度是4厘米。小林喝了多少水？设小林喝的水为v毫升，列式为：v：500＝4：(16+4)v＝100。四、数形结合思想“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”——华罗庚数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。四、数形结合思想1、数形结合思想的具体应用。数形结合思想主要体现：一是利用“形”作为各种直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决问题。二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透。三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的体现。四是用代数(算术)方法解决几何问题。四、数形结合思想1、数形结合思想的具体应用。（1）数的表示和运算。数和运算的实物化、图形化和操作化，便于人们直观理解数和计算。摆小棒、画图形等。（２）解决问题中的形。①画线段图表示数量关系。案例：五上列方程解决问题上海浦东中银大厦的总高度为258米，比上海国际饭店的3倍还高24米，上海国际饭店高多少米？设上海国际饭店的高度为x米，易于找等量关系和理解逆向思考的数量关系。上海国际饭店浦东中银大厦利用画图来直观呈现各种信息，有利于学生分析数量关系。利用画图来直观呈现各种信息，有利于学生理解算式。②解决问题的直观策略。③利用坐标系中的图像直观理解正比例关系。（3）统计中的图形。①各种统计图表。（4）空间与图形中的数。①图形的周长、面积和体积公式。②图形中边之间的关系。③图形变换中的数。坐标与变换（一）创设情境，提出问题买回200本书。有2个书架,方法一：先算：平均每个书架放多少本？200÷2=100（本）再算：平均每层放多少本？100÷5=20（本）200本2、数形结合思想的教学。方法二：先算：两个书架一共用几层？5×2=10（层）再算：平均每层放多少本？200÷10=20（本）200本方法三：先算：两个书架1层放多少本书?200÷5=40（本）再算：平均每层放几本书？40÷2=20（本）200本三年级有180人，平均分成两批去看书，每批3组，平均每组多少人？方法二：180÷（3×2）＝30（人）方法一：180÷2÷3＝30（人）四、数形结合思想2、数形结合思想的教学。第一，如何正确理解数形结合思想。218116141案例1：＋＋＋＋…＝1第二，适当拓展数形结合思想的应用。案例2：把两个形状和大小相同的长方体月饼盒包装成一包，怎样包装最省包装纸？假设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，并且abc(只要给出三个数的大小顺序便可，谁大谁小并不影响用代数方法计算的过程和结论)。根据已知条件可知，abacbc，所以把最大的两个侧面贴在一起包装最省包装纸。列成公式为：Ｓ＝4(ab+bc+ac)－2ab。五、推理思想对称性关系推理反对称性关系推理类比推理演绎推理合情推理三段论选言推理关系推理如：一切奇数都不能被2整除，(2³＋１)是奇数，(2³＋１)不能被2整除。一个三角形不是锐角三角形和直角三角形，它是钝角三角形。传递性关系推理1米＝100厘米，所以100厘米＝1米a大于b，所以b不大于a。ab，bc，所以ac。归纳推理推理1、推理思想的具体应用。锐角比直角小，钝角比直角大，也就是直角比钝角小；可进一步引导学生思考，锐角和钝角比，哪个大？学生在一年级已经知道了29＞26，26＞23，所以29＞23的推理方法，自然地可以把这种推理方法迁移至此。二年级上册第80页例4中的9的乘法口诀，这是归纳推理。有一箱苹果，3个3个地数多1个，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个。问这箱苹果至少有多少个？有一箱苹果,3个3个地数少1个，4个4个地数少2个，5个5个地数少3个。问这箱苹果至少有多少个？2、推理思想的教学。推理思想在小学数学教学中要注意把握以下几点：第一，推理是重要的思想方法之一，是数学的基本思维方式，要贯穿于数学教学的始终。第二，合情推理和演绎推理二者不可偏废。第三，推理能力的培养与四大内容领域的教学要有机地结合。第四，把握好推理思想教学的层次性和差异性。学习“8的乘法口诀”时，便可联系“6、7的乘法口诀”提出问题：8的乘法口诀有几句？怎样推导出8的乘法口诀？前后各句口诀之间有什么规律？（1）类比思想。在初中代数中，与整数的运算顺序和运算定律相类比，可以导出有理数和整式的运算顺序和运算定律；与分数的基本性质相类比，可以导出分式也具有类似的性质，并且可以推出它和分数一样能够进行化简和运算。期末测试中体现数学活动经验（类比思想）的题目：学生在计算16＋8＝24时，总结出了加法计算法则，它在学习（）