【跃渊风暴】【恒心】数学高考满分冲刺-不等式选讲

§4不等式选讲真题热身(2011·江苏)解不等式x＋|2x－1|3.解原不等式可化为2x－1≥0，x＋(2x－1)3或2x－10，x－(2x－1)3.解得12≤x43或－2x12.所以原不等式的解集是x|－2x43.考点整合1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)⇔f(x)a或f(x)－a；(2)|f(x)|a(a0)⇔－af(x)a.(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值的不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.3．柯西不等式(1)设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(∑ni＝1a2i)(∑ni＝1b2i)≥(∑ni＝1aibi)2，当且仅当a1b1＝a2b2＝…＝anbn(当某bj＝0时，认为aj＝0，j＝1,2，…，n)时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．4．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、数学归纳法等．分类突破一、含绝对值的不等式的解法例1(2011·课标全国)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．解(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组x≥a，x－a＋3x≤0或xa，a－x＋3x≤0，即x≥a，x≤a4或xa，x≤－a2.因为a0，所以不等式组的解集为{x|x≤－a2}．由题设可得－a2＝－1，故a＝2.归纳拓展解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．一般方法有：零点分段法、平方法、等价转化法．常用方法是零点分段法，其基本步骤为：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．变式训练1(2011·辽宁)已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．(1)证明f(x)＝|x－2|－|x－5|＝－3，x≤2，2x－7，2x5，3，x≥5.当2x5时，－32x－73，所以－3≤f(x)≤3.(2)解由(1)可知，当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；当2x5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x5}；当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x≤6.}二、不等式的证明例2(2010·辽宁)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．证明方法一因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①1a＋1b＋1c≥3(abc)，所以(1a＋1b＋1c)2≥9(abc).②故a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥3(abc)＋9(abc).又3(abc)＋9(abc)≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(abc)时，③式等号成立．故当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．23-13-23-2323-2323-232314方法二因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①同理1a2＋1b2＋1c2≥1ab＋1bc＋1ac，②故a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥ab＋bc＋ac＋3ab＋3bc＋3ac≥63.③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．故当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．14归纳拓展证明不等式的常用方法有：比较法、分析法、综合法等．利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有：(1)a2≥0；(2)|a|≥0；(3)a2＋b2≥2ab；它的变形形式有a2＋b2≥2|ab|；a2＋b2≥－2ab；(a＋b)2≥4ab；a2＋b2≥12(a＋b)2；a2＋b22≥a＋b22；(4)a＋b2≥ab；它的变形形式有ab＋ba≥2(ab0)；ab＋ba≤－2(ab0)．变式训练2设a，b，c均为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.证明因为a，b，c是正实数，由平均不等式可得1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3，即1a3＋1b3＋1c3≥3abc.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc.而3abc＋abc≥23abc·abc＝23，所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.三、含绝对值的不等式的证明例3已知f(x)＝1＋x2，a≠b，求证：|f(a)－f(b)||a－b|.解∵|f(a)－f(b)|＝|1＋a2－1＋b2|＝|a2－b2|1＋a2＋1＋b2＝|a－b||a＋b|1＋a2＋1＋b2，又|a＋b|≤|a|＋|b|＝a2＋b21＋a2＋1＋b2，∴|a＋b|1＋a2＋1＋b21.∵a≠b∴|a－b|0.∴|f(a)－f(b)||a－b|.归纳拓展本题应用了放缩法，放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性．缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和．变式训练3设f(x)＝x2－x＋43，实数a满足|x－a|1，求证：|f(x)－f(a)|2(|a|＋1)．证明|f(x)－f(a)|＝|x2－x＋43－a2＋a－43|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|.∵|x－a|1，∴|x|－|a|≤|x－a|1.∴|x||a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x－a|·|x＋a－1|≤|x＋a－1|≤|x|＋|a|＋12(|a|＋1)．规范演练一、填空题1．(2011·广东)不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是__________．解析方法一不等式等价转化为|x＋1|≥|x－3|，两边平方得(x＋1)2≥(x－3)2，解得x≥1，故不等式的解集为[1，＋∞)．方法二不等式等价转化为|x＋1|≥|x－3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x到点－1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x＝1，故不等式的解集为[1，＋∞)．[1，＋∞)2．不等式|x＋1||x＋2|≥1的实数解为__________________．解析∵x＋1x＋2≥1，∴|x＋1|≥|x＋2|.∴x2＋2x＋1≥x2＋4x＋4，∴2x＋3≤0.∴x≤－32且x≠－2.x|x≤－32且x≠－23．(2011·陕西)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________________________．解析∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝－2x＋1(x≤－1)，3(－1x2)，2x－1(x≥2)，∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.(－∞，－3]∪[3，＋∞)4．已知x54，则函数y＝4x－2＋14x－5的最大值为______．解析∵x54，∴5－4x0.又y＝4x－2＋14x－5＝(4x－5)＋14x－5＋3＝－[(5－4x)＋1(5－4x)]＋3≤－2＋3＝1，当5－4x＝15－4x，即x＝1时，取“＝”，此时ymax＝1.15．(2011·江西)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析∵|x－1|≤1，∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2.又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3，从而－6≤－2y≤－2.由同向不等式的可加性可得－6≤x－2y≤0.∴－5≤x－2y＋1≤1，∴|x－2y＋1|的最大值为5.56．用数学归纳法证明cosα＋cos3α＋cos5α＋…＋cos(2n－1)α＝sin2nα2sinα(sinα≠0，n∈N)，当验证n＝1时，等式右边的式子是_______.解析n＝1时，右边＝sin2α2sinα＝cosα.cosα7．若不等式x＋|x－1|≤a有解，则实数a的取值范围是______________．解析设f(x)＝x＋|x－1|，则f(x)＝2x－1，(x≥1)，1，(x1).f(x)的最小值为1.因为x＋|x－1|≤1有解，所以当a≥1时，f(x)≤a有解．[1，＋∞)二、解答题8．(2011·福建)设不等式|2x－1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解(1)由|2x－1|1得－12x－11，解得0x1，所以M＝{x|0x1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0a1,0b1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)0，故ab＋1a＋b.9．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．解(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3.①当x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3，即－2x≥3.不等式组x≤－1，f(x)≥3的解集为－∞，－32.②当－1x≤1时，不等式化为1－x＋x＋1≥3，此不等式不成立，不等式组－1x≤1f(x)≥3的解集为∅.③当x1时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3.不等式组x1，f(x)≥3的解集为32，＋∞.综上得，f(x)≥3的解集为－∞，－32∪32，＋∞.(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件．若a1，f(x)＝－2x＋a＋1，x≤a，1－a，ax1，2x－(a＋1)，x≥1.f(x)的最小值为1－a.若a1，f(x)＝－2x＋a＋1，x≤1，a－1，1xa，2x－(a＋1)，x≥a.f(x)的最小值为a－1.所以∀x∈R；f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．10．(2011·上海)已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3n＋6，bn＝2n＋7(n∈N*)．将集合{x|x＝an，n∈N*}∪{x|x＝bn，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，cn，….(1)求c1，c2，c3，c4；(2)求证：在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，….(1)解c1＝9，c2＝11，c3＝12，c4＝13.(2)证明①任意n∈N*，设a2n－1＝3(2n－1)＋6＝6n＋3＝bk＝2k＋7，则k＝3n－2，即a2n－1＝b3n－2；②假设a2n＝6n＋6＝bk＝2k＋7⇔k＝3n－12∈N*(矛盾)，∴a2n∉{bn}．∴在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，….返回