矩形中的折叠问题教案

课题：矩形中的折叠问题114中学张爱教学目标：知识与技能：灵活运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形中的折叠问题.过程与方法：在分析三类基本折叠问题的过程中，体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法.情感态度价值观：通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会知识间的联系，感受数学学习的乐趣.教学重点：解决矩形中的折叠问题.教学难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系.教学方法：引导探究式教学教学过程（一）课堂引入师：将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，今天我们就来研究矩形的折叠问题.（二）讲授新课例1：如图，已知矩形ABCD，将BCD△沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F.师：根据图像，你能发现图中有哪些相等的线段和角吗？生：AB=DC=ED，BF=DF，AF=EF，BC=BE=AD；E=A=90°，ABF=EDF，FBD=FDB=DBC，BDC=BDE；师：由此，我们可以归纳出图中的三角形具有哪些特殊的性质？生：△EBD△CBD△ADB且都是直角三角形，△ABF△EDF；△FBD是等腰三角形；并且△EBD与△CBD关于直线BD对称，若连接EC，则BD垂直平分EC（对称轴垂直平分对应点之间的连线）.师：我们将矩形纸片沿对角线进行折叠，折叠后的图形中含有全等三角形、等腰三角形，以及轴对称图形，下面我们就来看看几个具体的问题：（1）若∠ADE=20°，求∠EBD的度数．（2）若4AB，8BC，求AF．BCDEFA解：（1）∵矩形ABCD中，∠C=90°，又∵翻折，∴∠E=∠C=90°，∵∠ADE=20°，∴∠EFD=70°.∵AD∥BC，∴FDB=DBC，又∵FBD=DBC，∴FBD=FDB，∴FBD=35°.（2）∵FBD=FDB，∴FB=FD，设AF为x，则FD=FB=8-x，在△ABF中，∠A=90°，222AFABBF，因此，22248xx，解得3x，∴AF=3.【小结】师生共同小结，教师进行归纳：将矩形沿对角线进行折叠，我们从翻折产生的性质和背景图形的性质两方面入手，分析出了图中相等的线段和角，找到了全等三角形，等腰三角形，从而解决了问题.图中还隐含着一个重要的基本几何图形，即角平分线和平行线结合在了一起，这时会出现等腰三角形，这对于我们解题有很大帮助.因此我们在识图时一定要注意挖掘出图中的基本几何图形.例2：将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与点D重合，点A落在点G处.师：请你分析出图中存在着哪些数量关系.生：AB=DC=DG，BF=DF=DE，AE=EG=FC；G=A=90°，CDF=GDE，DFC=DEG，BFE=DFE=FED；△DGE△DCF，且都是直角三角形，△DEF是等腰三角形；并且四边形EABF与四边形EGDF关于直线EF对称.师：下面我们来看具体问题：（1）判断四边形BFDE的形状；（2）若AB=2，BC=4，求折痕EF的长.解：（1）四边形BFDE是菱形证法一：∵B与D关于直线EF对称∴EF⊥BD，且BO=OD∵AD∥BC∴EO：OF=BO：DO∴EO=OF∴四边形BFDE是菱形.证法二：∵ED平行且等于BF∴四边形BFDE是平行四边形∵△DGE△DCF，ED=DF∴四边形BFDE是菱形ABCFEGDABCFEGDO（2）∵四边形BFDE是菱形∴DCBFEFBDS2121设FC为x，则FD=FB=4-x，在△DFC中，222FCDCDF，因此，22224xx，解得5.1x，∴FC=1.5，BF=2.5又∵DC=2，BD=52∴22552EF，EF=25.这里问题的解法比较多，教师鼓励学生一题多解，给学生展示不同思路的机会.【小结】师生共同小结，教师适当归纳：例2中的图形是沿着某一直线折叠，使矩形对角的顶点互相重合.我们仍然找到了相等的线段、角，全等三角形，等腰三角形，还有特殊的四边形——菱形.回顾例1、例2中两个计算边长的问题，勾股定理是解决此类问题的有力工具，并且两题都用到了和设未知数的方法，这里也体现了数学中的方程思想.例3：如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处.问题：若EFCsin31，求tan∠DAE.师：请你先分析图形中的数量关系，写在学案上，然后独立完成问题.生：图中的主要关系有：AFEDEA，BFA∽FCE，90AFEDCB，勾股定理可以用于任何一个直角三角形.解：∵∠B=∠C=∠AFE=90°，∠BAF+∠BFA=90°，∠BFA+∠EFC=90°，∴∠BAF=∠EFC，∴∴BFA∽FCE∴31AFBFFEECsinEFC设EC为a，则EF=ED=3a，∴AB=DC=4a，∴AF=a23∴AD=a23FEDCBA∴tan∠DAE=22233aADDEa【小结】师生共同小结：本题中这个图形是使矩形的一个顶点落在矩形的一边上，图中除出现全等三角形外，还出现了相似三角形，相似的出现并不意外，这是因为出现了我们在几何中曾经总结过的一个基本图形，即同一直线上出现三个直角（或60°角或120°角）时，则会出现相似图形.由此可见，在复杂图形中挖掘出基本几何图形是非常重要的.（三）课堂小结这节课我们研究了矩形折叠中的三类基本折叠问题，相信同学们都有了一定的收获和感受，下面就请你们谈谈吧.学生畅谈感受和收获.教师总结：以上三个例题体现了折叠问题中的三种基本折法，通过这三道例题，我们今后再遇到此类问题应该有了一定的解题思路.首先，我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手，找出相等的线段、角，直角三角形等，这些是我们解决问题的基本条件.其次，根据这些基本条件，再结合我们在几何中已有的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到全等三角形、相似三角形、等腰三角形等特殊图形，这些是解决问题的关键.再有，在特殊图形中运用方程思想，借助勾股定理或相似性质，是计算边长的常用方法.图形折叠问题题型变化多端，但万变不离其宗，只要我们掌握了解决问题的一般思路，相信你们定能将一道道难题破解.（四）布置作业完成学案上的问题，并且例2的两个问题分别用两种方法解出来.