搜索
多小波理论简介多小波是小波理论的新发展。与以前的标量小波(scalarwavelet)相比，它是多个尺度函数或者说是向量尺度函数生成的小波，它可以同时具有正交性、对称性、短支撑性和高阶消失矩等性质，这在标量小波中是不可能同时具有的。1994年,Goodman等人基于r重多分辨分析(MRA)建立了多小波的理论框架,并给出了多小波的例子；同年,Geronimo,Hardin和Massopust应用分形插值的方法成功地构造出具有短支撑、正交的、对称的和二阶消失矩的两个尺度函数[]12(),Txφφφ=；1996年,Geronimo,Hardin和Massopust再次应用分形插值的方法,构造[]12(),Txψψψ=,并被后来者称为GHM小波。由于GHM小波的成功构造,立即吸引了许多从事小波分析的研究者，促使了多小波理论在近几年的迅猛发展。一、多小波的定义及原理正如标量小波中的情况一样，多小波的研究也是从多尺度函数开始的。具体地，多小波也是由多分辨率分析着手。1．多尺度函数：令12[]Trφφφφ=…，其中，2()rLRφ∈，rN∈，则可定义空间,jVjZ∈如下：/2{2(2):1,},(1)jjjiVspankirkZφ=−≤≤∈i（注意这里的定义与胡老师书上的定义略有差别，即j的符号为正的，与书上正好相反），一个多分辨率分析是指由（1）式定义的2()LR中具有下列性质的子空间序列{}jjZV∈：1）101VVV−⊂⊂⊂⊂……；2）2()jzjVLR∈=∪；3）{0}jzjV∈=∩；4）1()(2),jjfVfVjZ+∈⇔∈∈ii；5）{():1,}ikirkZφ−≤≤∈i构成0V空间的一组Riesz基；这样，称φ为一个二尺度r重函数，并称此多分辨率分析为由φ产生的二尺度r重多分辨率分析。更进一步的，如果φ满足：(),(),(,,,)lmlmjkxjxkjklmZφφδδ−−=∈则称φ为二尺度正交r重尺度函数，并称由它生成的多分辨率分析为一个正交的r重多分辨分析。由于01VV⊂，那么类似于标量小波函数的情况，尺度函数()φi可由{(2),}kkzφ−∈i来线性表示：()(2),(2)kkZxPxkφφ∈=−∑其中，矩阵序列2{}()rrkkZPlZ×∈∈；对比标量小波的二尺度函数关系，这个方程称为矩阵二尺度关系。对（2）式两做傅立叶变换，可得到其频域的形式如下：ˆˆ(2)()(),(3)Pzφωφω=其中，1()2kkkZPzPz∈=∑，是φ的二尺度符号。多尺度函数具有有限支撑[0,]M，意味着具有有限个二尺度系数。特别的，有：0,0kPforkandkM=。2．多小波函数对于一个给定的二尺度r重多分辨率分析空间{}jV，我们定义jW为jV在1jV+中的补空间，即1jV+是jW和jV的直和：1jjjVVW+=⊕。同上理，令12[]Trψψψψ=…为多小波函数，其中，2()LRψ∈，rN∈，则可定义空间,jWjZ∈如下：/2{2(2):1,},(4)jjjiWspankirkZψ=−≤≤∈i则向量小波函数ψ是半正交的多小波函数，如果它满足以下条件：1）jjVW⊥；2）/2{2(2):1,}jjikirkZψ−≤≤∈i构成jW空间的一组Riesz基；同样，多小波函数也满足二尺度关系：时域形式：()(2),(5)kkZxQxkψφ∈=−∑频域形式：ˆˆ(2)()(),(6)Qzψωφω=其中，1()2kkkZQzQz∈=∑。这样，我们就得到了多小波的二尺度关系：(2)、(3)、(5)、(6)，对比标量小波的情况，这里的()Pz、()Qz其实就是滤波器，矩阵kP、kQ分别对应为滤波器的系数；对应单小波的滤波器0()Hz、1()Hz及相应系数0()hk和1()hk。不同的是这里的与多小波对应的滤波器时矢量滤波器，它的系数都是矩阵。3．a尺度多小波一般地，如果上述多分辨率分析中，12[]Trφφφφ=…的尺度部分是ja而非2j，第四条性质改为1()(),jjfVfaVjZ+∈⇔∈∈ii，那么我们可以得到一个由a尺度r重函数φ产生的a尺度r重多分辨率分析。此种情况下，仍定义jW为jV在1jV+中的补空间，那么与jW对应的多小波函数为12(1)[]Tarψψψψ−=…，同样，我们可以得到a尺度关系：()(),(7)()(),(8)kkZkkZxPaxkxQaxkφφψφ∈∈⎧=−⎪⎨=−⎪⎩∑∑ˆˆ()()(),(9)ˆˆ()()(),(10)11(),()kkkkkZkZaPzaQzPzPzQzQzaaφωφωψωφω∈∈⎧=⎪⎨=⎪⎩==∑∑其中，kP是rr×阶系数阵，kQ是(1)arr−×阶系数阵。多小波的应用实质也是构造滤波器，对所要分析的信号做滤波，因而主要就是求解系数kP、kQ，但是由于他们都是矩阵，因而设计灵活、自由度大的同时求解将更加复杂，而且将一维信号通过矢量滤波器必然要经过预处理，因为矢量滤波器是多输入多数出系统。因而可以说，由单小波到多小波，无论自由度还是复杂度都有显著的提高。二、多小波的构造一般来讲，应该由（3）所表的二尺度关系作为构造多尺度函数的起点，但是类比单小波，先构造一个合适的矩阵序列2{}()rrkkZPlZ×∈∈，也就是矢量滤波器的系数序列，然后在此基础上得到由（3）式求得尺度函数φ将会是个比较简便的方法。基于此种考虑，我们对二尺度关系的频域形式实现迭代求解，由式（4）得：/2/2ˆˆ(2)()()()(),(11)2niiinPePePeωωωωφωφ−−−=这里，ˆφ可以看作是n→∞的极限，即：/20ˆˆ(2)lim()(0).(12)jninjPeωφωφ−→∞==∏这样，由上式得到的向量函数就是多尺度函数，如果满足以下条件：1）乘积项/20()jnijPeω−=∏当n→∞时收敛；2）族函数{():1,}ikirkZφ−≤≤∈i是0V空间的稳定基。特别地，{():1,}ikirkZφ−≤≤∈i是稳定的基，如果(1)P的谱半径是1且特征值1是单位圆上的唯一的单特征值。这个对P的条件确保了无限乘积项的收敛。值得注意的是，类似于标量情况下的上述条件，并没有耗尽表征多尺度函数的所有的自由度，因而对序列{}kkZP∈增加限制条件以获得具有合适性质的多尺度函数就成为可能。多小波相对于单小波的优点就是当处理矩阵而非标量系数的时候，自由度会更高，因此，许多条件可以同时满足，比如：正交性、对称性、短支撑性和高阶消失矩。正交性：正交小波的对偶是其本身,在应用中因为无须构造对偶函数,节省许多运算。只是除了Haar小波外,纯量小波无法同时满足正交性,对称性和短支撑性,应用上不方便。而多小波可同时满足这四个特征,在信号处理上比纯量小波更有优势。著名的GHM小波（图4）和Chui-Lian（图1，图2）小波都属于正交小波。对称性（反对称性）：可使滤波器具有线性相位或至少具有广义线性相位,则可避免因重构产生的失真。短支撑性：若iφ的支撑为[0，i],则意味在区间[0，i]之外,iφ的值为零,在处理边界问题时,这非常有用.而且如果多小波中尺度函数具有短支撑时,可以避免因截断产生的误差.另外,短支撑的小波对应的滤波器是有限脉冲响应的滤波器,使得相应的快速小波变换的和是有限的。高阶消失矩：定义()rrRLttdtψ=∫为基本小波()tψ的第r阶小波矩,如果对所有的0mM≤≤,有0mL=,则称基本小波()tψ具有M阶消失矩。消失矩越高,频域的局部化能力越强,光滑性越好。所有小波都具有一阶消失矩,为了更好地对线性函数进行重构,要求多小波至少具有二阶消失矩。图1.支撑度为[0，2]的Chui-Lian多小波图2.支撑度为[0，3]的Chui-lian多小波除了著名的GHM、Chui-Lian多小波外，还有许多其它的多小波构造方法。下面介绍一下程正兴等[4]的有关多小波的构造方法。1）正交多小波的构造我们知道,对于单一小波而言,无论是正交的小波还是双正交的小波,都有非常完美的构造公式,即设时域形式的二尺度函数关系如下：01()2()(2),(13)()2()(2),(14)kZkZxhkxkxhkxkφφψφ∈∈⎧=−⎪⎨=−⎪⎩∑∑1()hk可由共轭正交关系：110()(1)(1)khkhk−=−−直接得到。尽管许多研究者都在努力寻找多小波的类似单一小波的构造公式,但到目前为止,仍没有多小波的一般构造公式。对在一些特殊的条件下,一些研究人员给出较简单的构造公式,如ChuiCK和Lian给出了3-系数(P0,P1,P2)的两尺度方程确定的尺度函数所对应的多小波构造方法，具体地，012()(2)(21)(22),(15)xQxQxQxψφφφ=+−+−其中，1001122,,,QDPQDPQDP−===12111(,,,)212121rDdiag=−−−上面是讨论的是尺度因子为2时多小波的构造问题。而对于(2,)aaaZ∈尺度多小波的构造更没有一般的构造方法，将更加的复杂。下面介绍的是程正兴等[3]研究的方法，采用矩阵的正交扩充的方法构造出多小波,从而使得a尺度多小波的构造变得容易。不失一般性,讨论两尺度矩阵方程的系数矩阵0121,,,aPPP−可能不为零,其余的皆为零的情形下相应的正交小波的构造问题。定义00111121(,,,),(,,,)aaaalPPPlPPP−+−==，则()xφ是正交的尺度函数等价于10,0|,(16)TmnmnrmllIδ+==∑定义rar×矩阵多项式()Lz为101(),(17)2kkkLzlz==∑类似地，定义00111121(,,,),(,,,)aaaabQQQbQQQ−+−==定义(1)arar−×矩阵多项式()Bz为101(),(18)2kkkBzbz==∑容易验证()xφ是正交的尺度函数，()xψ是对应于()xφ的正交小波的充要条件是(1)()(),()(),B()().(19)TTTrarLzLzILzBzOzBzI−===下面再定义一个arar×矩阵()Hz为()(),(20)()LZHzBZ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦于是有()().(21)TarHzHzI=[定理]如果()Hz是一个nn×，其元素均为一阶多项式，那么上式（21）成立的充要条件是()()(1),(22)HzHIAAz=−+其中A是一个nn×对称阵，且满足2,(1)(1)TarAAHHI==。要构造相应的多小波，本质是寻找()Bz，使得()()TarHzHzI=。而由定理，()Hz可设为(1)()(),(23)(1)LHzIAAzB⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦＝其中A为待定矩阵，它必须满足()(1)(),(24)TLzLIAAzAA−+⎧⎨=⎩＝即11(1).(25)2TLAlAA⎧=⎪⎨⎪=⎩根据上式求出A之后，则()Bz可通过下式求出()(1)(1).(26)BzBAAz=−+综上分析,得到构造紧支撑a尺度正交多小波的算法1)根据(17)式构造(1)L；再将rar×矩阵(1)L扩充为arar×的正交阵,扩充的(1)arar−×矩阵块记为(1)B(注:矩阵的正交扩充不是唯一的,不同的扩充可对应不同的小波)；2)解方程(25),得到矩阵A；3)利用(26)式求出()Bz；4)再根据()Bz的定义求出{}kQ,即求出相应的紧支撑a尺度的正交多小波。2）双正交多小波的构造程正兴等[3]对双正交的多小波的构造进行研究，给出了双正交多小波的类似单小波的构造。下面我们看一下他们有关3-系数的多小波的构造问题的讨论。[定理]设()xφ和()xφ是一对3-系数的双正交的多尺度函数满足如下的方程012012()(2)(21)(22),(27)()(2)(21)(22),(28)xPxPxPxxPxPxPxφφφφφφφφ=+−+−=+−+−假设存在某个整数i，02i≤≤使得下式定义的矩阵D是一个可逆的矩阵21(2)(29)TTriiiiDIPPPP−=−定义11,,(30),,,{0,1,2}(),jjjjTjjTjjQDPjiQDPjiQDPjiijQDPji−−=≠⎧⎪=−=⎪⎨=≠∈⎪⎪=−=⎩则下列方程定义的()xψ和()xψ是一对对应于()x