九年级数学上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件 (新版)新人教版

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x=aacbb242(b2-4ac≥0)（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0x2+3x-4=02x2+3x-2=0341271-3-4-4-1-22123一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=abac（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0韦达（1540－1603）韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。一元二次方程根与系数关系的证明：aacbbx2421aacbbx2422X1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=abX1x2=aacbb242aacbb242●=242)42(2)(aacbb=244aac=ac如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2，那么x1+x2=,x1x2=－Pq例1、不解方程，求方程两根的和与两根的积：①2310xx22410xx②123xx121xx122xx解：①②我能行1原方程可化为：02122xx2121xx二次项不是1，可以先把它化为11625x35[()2]75k∴k357答：方程的另一个根是，的值是。2560xkxk例2、已知方程求它的另一个根及的一个根是2的值。26055kxx原方程可化为：想一想，还有其他方法吗？还可以把代入方程的两边，求出2xk解：，那么1x设方程的另一根是135x∴3()255k又∵我能行21232xx1212xx22310xx例3、不解方程，求一元二次方程两个根的①平方和；②倒数和。12,xx设方程的两根是，那么①②解：我能行32221212212)(xxxxxx2122122212)(xxxxxx413)21(2)23(22221xx21212111xxxxxx)21()23(3所求的方程是：解：我能行40)212()313()212313(2xx例4、求运用根与系数的关系一个一元二次方程，使它的两个根是：313212，2525063xx即：265500xx或：（1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？2310xx2322xx2230xx231x；②③；④①求它的另一个根及（2）已知方程23190xxmm的值。的一个根是1，12,xx22430xx12(1)(1)xx2112xxxx是方程不解方程，求下列各式的值:（3）设的两个根,①②开启智慧知识在于积累开启智慧知识在于积累4,713,13（4）求一个一元二次方程，使它的两个根分别为：；②①（5）已知两个数的和等于62，积等于求这两个数根与系数关系小结1、已知方程的一个根求另一个根及未知数（也可以用根的定义求解）pxx21:有qxx21对于一元二次方程的两根02qpxx21、xx2、求关于两根的代数式的值如:两根的平方和、两根的倒数和等3、以x1、x2为根的一元二次方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0，1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=21k23k∴12342)21(kk解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。解：由方程有两个实数根，得0242)1(4kk即-8k+4≥021k由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0,k2=4经检验，k2=4不合题意，舍去。∴k=0