计算流体力学第一章 绪论(2)

2020/3/101§1.3模型方程以及在计算流体力学中的应用（一）。模型方程的引入★简化对差分格式的性质的讨论及考核★必须反映物理问题的最基本的特征，且方便于进行理论分析2020/3/102例如：以流－涡函数描述二维流动问题时有方程：22222)(yxyvxut)(12222yVxVpyVvxVutV又如动量方程：模型方程可以提炼为：22xuxuutu一维Burger方程。2020/3/103（二）。几个典型的模型方程l一维波传播方程：l一维热传递方程：l一维对流扩散方程：lLaplace方程：lBurger方程：l无粘Burger方程：0xuatu22xutu22xuxuatu02222yuxu22xuxuutu0xuutu其中前4个方程为线性方程，可求出解析解，后两个方程为非线性方程，也可以求出解析解。2020/3/104▲Burger方程的解析解：(1-3-1):粘性系数，时为无粘方程。22xuxuutu0解：时,可令未知函数具有如下的形式：(1-3-2)0xtxu2),(),(tx)(2)(22ttxtxxtu其中是待定的二阶可微分函数，将其代入(1-3-1)式,得：2020/3/105代入(1-3-1)，则得:不妨设为满足抛物方程的解，即：(1-3-3)将的解代入(1-3-2)式，即给出了Burger方程的解析解的一般形式。)(4222xxxxxuu3322222)2)[(2xxxxxxxxu0][xxtx0xxt2020/3/106若的初始条件为:，则由(1-3-2)给出的对应于的初始条件是：由(1-3-3）给出的Burger方程的通解是：再代入(1-3-2)可得的解析解。特别指出，粘性Burger方程的解是连续的。),(txu)()0,(xfxu),(tx)(])(21exp[)0,(0xFdfxxdeFttxtx4)(2)(41),(),(txu2020/3/107★无粘Burger方程解的间断性：)()0,(0xfxuxuutu设通解为：)(),(utxftxu讨论：tffutufuxxx'1')1('表示在t-x座标中的某一个特定的点，其对应的u为u(s),使上式为0。0)('1,0'1)()()(ssstutxftf＋即）（ssxt,)(2020/3/108,xu0)('0)()()(sssutxft即必定在点发生解的间断，间断的位置由(1-3-5)式确定.),(txu)()(),(sstx2020/3/109§1.4计算流体力学的控制方程（一）。概述▲物理问题的解析解通常依赖于一些特殊形式的方程（如采用若干简化假设、选用高阶形式的方程，以避免方程个数过多等）；而对于计算流体力学的求解，由于数值计算的特点，不惧怕方程的复杂，因此可以基于更一般的方程形式，例如，可以由最基本的物理守恒律导出的普遍形式的方程作为出发方程。2020/3/1010▲对于理论分析，采用守恒或非守恒变量，守恒方程或非守恒方程，通常没有本质的差别，但在离散的数值计算中，守恒型与非守恒型将可能导致很大的差别，故方程的守恒性是计算流体中，必须特别注意的问题。▲对于求解一个实际问题，往往需要在任意曲线坐标系下来描述，在数值计算中，需要贴体坐标系。因而，要求在任意的非正交曲线坐标系下来描述物理问题是计算流体力学中极为平常的情况。（此点于理论的解析解是极为不同的）2020/3/1011（二）。基本守恒律的数学描述1.连续方程：0)(Vt2.动量方程：*Ip**)()(FIpVVtVFVVtV)()(为粘性应力张量)()(VqVFVEtE221VpE)*()()(VVpV)(Tkq)*()(])[(VTkVFVpEtE3.能量方程:2020/3/1012（三）。直角坐标系下的守恒型方程0zGyExFtUtEwvuUupEuwuvpuuFt)(2vpEvwpvvuvEt)(2wpEpwvwuwwGt)(2不计质量力（或质量力有势），理想流体、2020/3/1013若考虑粘性，则：0)()()(111zGGyEExFFtUxTkwvuFxzxyxxxzxyxx01yTkwvuEyzyyxyyzyyxy01zTkwvuGzzzyxzzzzyxz012020/3/1014●任意非正交曲线坐标系下的守恒形式的方程补充知识符号规定：直角坐标系：单位向量：任意曲线坐标系：或关系：),,(321xxx3,2,1iei),,(321),,(321),,(321xxxii重复指标，规定为哑指标，进行遍历求和。哑指标一般写成一上一下，以便标识。2020/3/10151.协变基向量：（CovariantbaseVectors）3,2,1)()(lim0irrraiiiiiii2.逆变基向量（ContravariantbaseVectors）3,2,1iexajjiii协变基向量表示的是沿坐标线的切线方向的单位向量。iai逆变基向量表示的是的等值面的法方向的单位向量。iaconsti2020/3/1016在正交坐标系中，但在任意的非正交坐标系中，协变基不平行于逆变基。iiaa//iiiidadrrdjijiddaardrdds)()(2定义：jijiijgaag是二阶对称张量ijg2020/3/1017微元弧长：iiiiiiiiiiidgdaadaidrds指标不累加）此式中(iiiiiighdhds同时根据拉梅(Lame’)系数的定义:微元面积：32321)(ddaad不累加kjddaadkjkji,)(2020/3/1018微元体积：321321321321][)(dddaaadddaaadVwwvwuwwvvvuvwuvuuuwvu2][3213213213332312322211312113213323133222123121113212321det][dddgdddgdddgggggggggdddaaaaaaaaaaaaaaaaaadddaaadVij另外，有:2020/3/1019向量的散度：3131313131321310})(])[({1})]([])[({1)]([1)(limiiikjikjiikjiikjikjiiiiiVaaAAaagaaAAaagaaAgdddgddAVdAA2020/3/1020当为常向量时，应有：A31310)(0)]([10ikjiikjiaaaaAgA31])[(1iikjAaagA2020/3/1021梯度：31310])[(1)]([1limiikjikjiVaagaagVd310)(ikjiaa2020/3/1022◆协变基向量与逆变基向量间的关系：)(1)(1)(1)[(1313131kjlnmillnmillilnmiiaagaagaagaagaikjagaa)(likjikjlkjlilaaaaaaaagaaa)()()(1jiijaa(*)2020/3/1023iiiimmiiikjiigAgagaAgagAgaaAgA)(1)(1][1)]([13131)(1iiAggA将(*)式代入散度的表达式2020/3/1024张量的散度：)(1](1](1)]([1..31kikiilklkiiikjiieTggageeTgagTgaaTgT2020/3/1025利用以上有关张量在任意曲线坐标系中的表示式，并将其代入基本守恒律方程：标量方程若令即为连续方程。0)(10iibggtBtVB0)(10.ikikeTggtTtA向量方程2020/3/1026令此为理想流体（无粘）条件的应力张量。IpVVTVA,0)(][)(iiiiapgVVgtVg上式是向量表示式，将其写成分量式，理论上可以有许多的投影方式，实际使用中，常将任意的曲线坐标系与直角坐标系结合使用。说明如下：2020/3/1027在直角坐标系中，lleukwjviuViiaVVjijjjiiuuxV,me0)(][)(jjiilliillmexpgeuVgteuge0)(][)(miimiimxpguVgtug协变基向量而且：将上式点乘：在任意的曲线坐标系中：逆变分量2020/3/1028例如：m=1上式为：0)(][)(miimiimxpguVgtug0[][][)()3()2()1(xpguVgxpguVgxpguVgtugWVVVUV)3()2()1(,,wvuUzyxwvuVzyxwvuWzyx有些文献中习惯将曲线坐标系中的逆变分量写成：由（）式:2020/3/1029对于粘性问题：动量方程增加了一项，0GEFtUtEwvugUUpEpwUpvUpuUUgFtzyx)(VpEpwVpvVpuVVgEtzyx)(WpEpwWpvWpuWWgGtzyx)(