陈文灯复习指南P138页微分算子的讨论

微分算子法求非齐次方程的特解(规律总结)形如()(1)(2)121'().nnnnniypypypypyfxpconst---+++⋅⋅⋅++==令11,dDdxDdxD-===∫，则()()(1)(2)12112121'()()()1()*()()nnnnnnnnnnypypypypyfxDpDpDpDPyfxFDyfxyfxFD------+++⋅⋅⋅++=⇒+++⋅⋅⋅++=⇒=⇒=特解1*()()yfxFD=的求法规则①()(),()0()1()m(),()()kxDkkxmkxmmeFkFkeFkFDexFkmFk→⎧≠⎪⎪───→⎨⎪⎪⎩表示求次导数存在重根②22222()2sin1,()0cos()sin1cos()sin,()cos()DammaxFaaxFaaxaxFDaxxFamaxFa→-⎧⎛⎞-≠⎪⎜⎟-⎛⎞⎪⎝⎠────→⎨⎜⎟⎛⎞⎝⎠⎪-⎜⎟⎪-⎝⎠⎩存在重根③1()()()()nnPxQDPxFD=例如：221111()()()21()2331()33nnnPxPxPxFDDDDD==---+-再根据级数展开01(1)1nnnxx∞=-+∑或011nmxx∞==-∑求得()()20211()33nnnQDDD∞==--∑()QD展开项的个数由多项式()nPx的最高次幂决定。即是nx的n的数④11sin()sin()()()kxkxnneaxPxeaxPxFDFDk=+sinax可化成iaxe，计算结果取虚数Imsiniaxeax⎡⎤=⎣⎦【例5-14】解下列微分方程2232''4'4,''sin0''4'4xxyyyeyyxyyyxxeaaaa++=+=-+=（1）其中为实数（2），其中的实数（3）（1++...+）''4'4,xyyyeaa++=（1）其中为实数解:2122112222222221124402,2()*2(2)1*14422(2)2(2)*=()+xxxxxDxxyccxeyeyeeDDxxeDeeyyyccxexaaaaaallllaaaaaa-=-++===-=-=+⎧≠-⎪+⎪==⎨++==-⎪′′⎪⎡⎤+⎣⎦⎩≠-+=++1.对应的特征方程为，特征值（其中属于二重根）对应齐次方程的通解为2.齐次方程的一个特解为，，，故齐次方程的通解为22122(2)2xxDxeDaaaaa=⎧⎪⎪⎪⎪==-⎨′′⎪⎡⎤+⎣⎦⎪⎪=-⎪⎩，属于二重根。所以求导两次2''sin0yyxaa+=（2），其中的实数解22112222222221120cossin2.*1sinsin11*11sinsinsincos1()'2221()'s*cossiniycxcxyxxDyxxxxxDxxxDDDDyyycxcxlalaaaaaaaaaaaa+=⇒=±=+⎧=≠⎪+-⎪=⎨⎪===-=+⎪⎩=+=+=++1.特征方程特征值，对应的齐次方程的通解为非齐次方程的一个特解为为一重根，求导一次。故非齐次方程的通解为：2112in111*cossincos12xyyycxcxxxaaaaa≠-=+=++-=，232''4'4xyyyxxe-+=（3）（1++...+）解22212223223222322322440202,()()*11*44(2)4(2)41*12xxxxxxyxeccxyyexxexxDDDDexxyexxeDllll-+=⇒-==-=+==-++-++=×1.对应的特征方程为，（）特征值（重根）对应齐次方程的通解为2.非齐次方程的特解为（1++...+）（1++...+）跳前面去了，请看前面的规律一故齐次方程的通解为（1++...+）=（[phone](2)4(2)4xDDDD××+-++=+...+）展开刚好等于，表示积分两次，但不带常数.）【例5-15】解下列微分方程3(1)69(1),(2)22cosxxyyyxeyyyxex′′′′′′-+=+-+=3(1)69(1)xyyyxe′′′-+=+解：223123322332322233212(1)69(3)03()()()11*(1)(1)69(3)6(3)9111(1)()((3)6(3)9)6211()()(62xxxxxxyyxeccxyxeexDDDDexxxeDDDDyxeccxxxllll-+=-=⇒==+=+=+-++-++=+=++-++==+++特征方程为重根对应齐次方程的通解为非齐次方程特解为注明：展开等于故方程的通解为3)xe(2)22cosxyyyxex′′′-+=解：2112222(2)2201(cossin)111*coscoscos22(1)2(1)21xxxxiyecxcxyexxexxexxDDDDDlll-+=⇒=±=+===-++-+++特征方程为，对应齐次方程的通解为：非齐次方程的特解为：22cossin11cos11ixixexixxexxDD=+++根据，以及微分方程解的结构特点，故可以先求，再取实部的结果，即得到2222222111()1()1211111112222241111111242244411ReReRecossi144ixixixixixixixixixixixixxeexeexDDiDDiDDexexexDDiDiiiDiixexexxexiDiixeexxxiD==++++⎛⎞=⋅=-⋅=+⎜⎟+⎝⎠⎛⎞=+=+=-+⎜⎟⎝⎠⎡⎤⎛⎞=-+=+⎜⎟⎢⎥+⎝⎠⎣⎦，注明：跳前面去（）（）（）()2211211ncossin44441*(sincos)41(cossin)(sincos)4xxxixxxxxxxxyexxxxyecxcxexxxx⎡⎤⎛⎞-+=+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦=+=+++故原方程的通解为：()2100011x12111122212111112222212ixnnnnnnexxxDDiDDDxDxiiiiDDDiiiiii∞∞===++⎛⎞⎛⎞⎛⎞=-=-=-=-⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠⎝⎠+⎛⎞==-⋅⎜⎟+⎝⎠+∑∑∑注明：根据展开到的一次方，（因为，最后面是）因为，【例5-17】已知22123,,xxxxxxxyxeeyxeeyxeee--=+=+=+-都是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程方程及其通解。解：由线性微分方程的解结构定理可得出()()222131213122212212)()202222CCxxxxxxxxxxxxxxxxyyeyyeeyyyyeeeeeeyyyyyyfxyxeefxxeyyyxeyeexee-------=-=--+-=-+=′′′--=′′′--==+=′′′--==++++，，(，是该微分方程的解，有解和，可得出齐次方程为设该微分方程为，代入，（1-）所以，该微分方程为（1-）通解为：齐次通解特解=x【例5-19】22()uuxy=+设具有连续的二阶偏导数，且满足方程2222221uuuuxyxyxx∂∂∂+-+=+∂∂∂解：22222222222222222222222222222222r,()(r)()()()11xyuuxyuudurxduxdrxrdrxrxuxduduxduydurxrdrrdrrdrrdruyduxduyrdrrdruuuduuuxyxxdrduurdrl+=+=∂∂==∂∂-∂=+=+∂∂=+∂∂∂∂+-+=+∂∂∂⇒+=+gg令=则同理，由对称性有于是，左式=原方程，特征方程为特征方程为222222122222221201*(1)21cossin2cossin2iurDrrDucrcrrcxycxyxyl==±==-=-+=++-+++++-，特征值非齐次方程的一个特解故方程的通解为